Question

calcula la ecuacion del plano que pasa por el punto (0,1,2) y contiene la recta r'

Answer 1

La ecuación del plano que pasa por el punto y contiene a la recta r' es:

π: x-3y+3z-3=0

Explicación paso a paso:

Datos;

punto (0,1,2)

r' = x-y+z=2

     x+y-z=1

hallar el vector director de la recta;

$v=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-1&1\\1&1&-1\end{array}\right]$

v = i(1-1) - j(-1-1)+k(1+1)

v = (0, 2, 2)

El vector director debe ser paralelo al plano para que esta este contenida en dicho plano;

Si el punto esta contenido en el plano se toma un punto cualquiera de la recta para construir la ecuación el plano;

Asumir, y = 0;

evaluar en la recta r' ;

x+z=2 ⇒x = 2-z

x-z=1  ⇒ 2-z-z=1 ⇒ z = 1/2

Sustituir;

x = 2 - 1/2

x = 3/2

Punto (3/2, 0, 1/2)  

Formar un vector con los puntos;

vₓ = (0-3/2, 1-0, 2-1/2) = (-3/2, 1, 3/2)

Aplicar producto vectorial entre los dos vectores;

$\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&2&2\\-3/2&1&3/2\end{array}\right]$  

= i(3-2) - j(3) + k(3)

= (1, -3, 3)

Ec. general del plano;

Ax+By+Cz+d = 0

sustituir;

x -3y + 3z +d = 0

Evaluar (0,1,2);

0 -3(1) + 3(2) +d = 0

d = -3

π: x-3y+3z-3=0