Question

Calcula la ecuación de la recta en su forma general si sabe q pasa por los puntos A(-2,1) y B(3,4)

Answer 1

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2,1) y B (3,4) está dada por:

Forma General:

$\large\boxed {\bold { 3x\ -\ 5y \ + \ 11 = 0 }}$

Forma Explícita

$\large\boxed {\bold { y =\frac{3}{5} x\ + \frac{11}{5} }}$

Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados debemos primero hallar la pendiente

Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas

$\bold { A\ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B\ (x_{2},y_{2} )}$

Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta

Lo que resulta en

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (-2,1) y B (3,4)

$\bold { A\ (-2,1) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B\ ( 3,4) \ ( x_{2},y_{2}) }$

Hallamos la pendiente

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 4 - (1) }{3 - (-2) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 4-1 }{ 3+2 } }}$

$\large\boxed{\bold {m = \frac{3}{5} }}$

La pendiente es igual a 3/5

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto A (-2,1) tomaremos x1 = -2 e y1 = 1

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m= \frac{3}{5} } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold { A\ (-2,1 )}$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (1) = \frac{3}{5} \ .\ (x- (-2)) }}$

$\boxed {\bold { y -1 = \frac{3}{5} \ .\ (x+2) }}$

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y -1 = \frac{3}{5} \ .\ (x+2) }}$

$\boxed {\bold { y -1 =\frac{3x}{5} \ + \frac{6}{5} }}$

$\boxed {\bold { y =\frac{3x}{5} \ + \frac{6}{5} + 1 }}$

$\boxed {\bold { y =\frac{3x}{5} \ + \frac{6}{5} + \frac{5}{5} }}$

$\boxed {\bold { y =\frac{3x}{5} \ + \frac{11}{5} }}$

$\large\boxed {\bold { y =\frac{3}{5} x\ + \frac{11}{5} }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita

Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta

También llamada forma implícita

Que responde a la forma:

$\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}$

$\boxed {\bold { y =\frac{3}{5} x\ + \frac{11}{5} }}$

$\boxed {\bold { \frac{3}{5} x\ + \frac{11}{5} -y=0 }}$

$\boxed {\bold { \frac{3}{5} x\ -y + \frac{11}{5} =0 }}$

Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:

Multiplicamos la ecuación por 5

$\boxed {\bold { \frac{3}{5}x \ . \ 5 \ -\ y \ . \ 5 \ + \frac{11}{5} \ . \ 5 = 0 }}$

$\boxed {\bold { \frac{3}{\not 5}x \ . \not 5 \ -\ y \ . \ 5 \ + \frac{11}{\not 5} \ . \not 5 = 0 }}$

$\large\textsf{Obteniendo }$

$\large\boxed {\bold { 3x\ -\ 5y \ + \ 11 = 0 }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma general o implícita

Se agrega gráfico