Question

calcula la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya ecuación de su directriz es 3x+12=0 ( Realiza la grafica.)

Answer 1

Hola! Las ecuaciones de las parábolas pueden ser de las siguientes formas:

$(x-h)^2=\pm4p(y-k)--->Vertical\\\\(y-k)^2=\pm4p(x-h)--->Horizontal$

*Donde (h,k) son las coordenadas del vértice; p es la distancia del foco al vértice, o del vértice a la directriz; y el signo ± depende si la parábola es positiva o negativa.

Primero, como el vértice está en el origen, tiene las coordenadas (0,0)

Después, para la ecuación de la directriz, despejamos a x:

3x+12=0 ---> x=-12/3 ---> x=-4

Observa que la ecuación de la directriz al ser x=-4, es una línea vertical. Como la directriz es perpendicular al eje de la parábola, eso indica que la parábola debe ser horizontal para que esto suceda.

También, desde el vértice, la directriz queda a la izquierda (porque el vértice está en el origen, y la directriz en x=-4), lo que implica que la parábola abra hacia la derecha, lo que indica que es positiva. Sabiendo esto, la ecuación de la parábola debe tener la siguiente forma:

$(y-k)^2=4p(x-h)$

*Por que es horizontal y es positiva.

La distancia del vértice a la directriz es p, y equivale a restar las coordenadas en x del vértice menos la ecuación de la directriz:

p=0-(-12) = 0+12 = 12

Sustituyendo p=12 y las coordenadas del vértice (0,0), la ecuación sería:

$(y-0)^2=4(12)(x-0)\\\\y^2=48x$

Respuesta: $y^2=48x$

¡Espero haber alcanzado a ayudarte! estas preguntas me las recomienda la página una poco tarde, disculpa. ¡Saludos y éxito!