Question

. Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(7, -1), Q(6, 2) y R(-1, -5).​

Answer 1

【Rpta.】 La ecuación de la circunferencia es x² + y² - 4x + 2y -20 = 0.

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

                                    $\overset{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}}}}$

                                    Donde E, D y F son constantes

En el problema, los puntos que nos da el enunciado debe cumplir la igualdad mencionada, entonces

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ primer\ punto: P=(\underbrace{\mathsf{7}}_{x_1},\underbrace{\mathsf{-1}}_{y_1})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (7)^2+(-1)^2+D(7)+E(-1)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 49+1 + 7D - E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern39pt 50 + 7D - E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern40pt\boxed{\mathsf{ 7D - E+F = -50}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ segundo\ punto: Q=(\underbrace{\mathsf{6}}_{x_2},\underbrace{\mathsf{2}}_{y_2})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_2^2+y_2^2+Dx_2+Ey_2+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (6)^2+(2)^2+D(6)+E(2)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 36+4 + 6D + 2E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern40pt 40 + 6D + 2E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern40pt\boxed{\mathsf{ 6D + 2E+F = -40}}}$

 

        $\kern-70pt\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\:\:\mathsf{Para\ el\ tercer\ punto: R=(\underbrace{\mathsf{-1}}_{x_3},\underbrace{\mathsf{-5}}_{y_3})}\\\\\mathsf{\kern30pt x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0}\\\\\mathsf{\kern29pt x_3^2+y_3^2+Dx_3+Ey_3+F = 0}\\\\\mathsf{\kern10pt (-1)^2+(-5)^2+D(-1)+E(-5)+F = 0}\\\\\mathsf{\kern30pt 1+25 - D - 5E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern40pt 26 - D - 5E+F = 0}\\\\\mathsf{\kern40pt\boxed{\mathsf{ -D - 5E+F = -26}}}$

 

Ordenando la ecuaciones tendremos un sistema de ecuaciones lineales

                                              $\mathsf{ \:7D - E+F = -50}\\\\\mathsf{ \:6D + 2E+F = -40}\\\\\mathsf{ -D - 5E+F = -26}$

 

Para resolverlo utilizaremos el método de determinantes, por ello escribiremos el sistema en forma matricial

                                               $\left[\begin{array}{rrr|r}7 & -1 & 1 & -50\\6 & 2 & 1 & -40\\ -1 & -5 & 1 & -26\end{array}\right]$

Calculamos la determinante principal

                                           $\mathsf{\Delta_P =\left|\begin{array}{rrr}7 & -1 & 1\\6 & 2 & 1\\ -1 & -5 & 1\end{array}\right|=28}$

Como la determinante es diferente que 0 diremos que el sistema tiene solución única, para determinar los valores de D, E y F utilizaremos las determinantes auxiliares.

✔ Determinante auxiliar para D

                                        $\mathsf{\Delta_D =\left|\begin{array}{rrr}-50 & -1 & 1\\-40 & 2 & 1\\ -26 & -5 & 1\end{array}\right|=-112}$

✔ Determinante auxiliar para E

                                        $\mathsf{\Delta_E=\left|\begin{array}{rrr}7 & -50 & 1\\6 & -40 & 1\\ -1 & -26 & 1\end{array}\right|=56}$

✔ Determinante auxiliar para F

                                        $\mathsf{\Delta_F=\left|\begin{array}{rrr}7 & -1 & -50\\6 & 2 & -40\\ -1 & -5 & -26\end{array}\right|=-560}$

Finalmente tenemos que:

                                           $\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:D=\dfrac{\Delta_D}{\Delta_P}=\dfrac{-112}{28}=-4}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:E=\dfrac{\Delta_E}{\Delta_P}=\dfrac{56}{28}=2}\\\\\\\mathsf{\blacktriangleright\:\:\:F=\dfrac{\Delta_F}{\Delta_P}=\dfrac{-560}{28}=-20}$

 

La ecuación de nuestra circunferencia sería:

                                      $\mathrm{\:\:\:\:\:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}\\\\\\\n\mathsf{x^2+y^2+(-4)x+(2)y+(-20)=0}\\\\\\\mathsf{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+y^2-4x+2y-20=0}}}}}$

⚠ La gráfica en la imagen es para comprobar nuestros resultados.

 

                                          $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{2 pt}\fbox{C\kern-6.8pt O}\hspace{2 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{2 pt} \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{2pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{2pt} \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$