Question

Calcula la distancia que hay del punto (–6,4) a la recta cuya ecuación es 4x–5y+8=0​

Answer 1

Respuesta:

D= 36√41/41

Explicación paso a paso:

Solo sustituye en la formula

Checa la imagen y si te sirve dale estrellita porfa

Suerte

Answer 2

La distancia del punto P (-6, 4) a la recta dada es de:

En forma exacta:

$\large\boxed {\bold {d(P,r) = \frac{36 \sqrt{41} }{ 41 } \ unidades }}$

En forma decimal

$\large\boxed {\bold {d(P,r) \approx \ 5.62 \ unidades }}$

Solución

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la distancia más corta que existe desde ese punto a la recta

Por lo tanto se refiere a la longitud del segmento trazado desde el punto y que es perpendicular a la recta.

Calculamos la distancia del punto a la recta

Empleando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta

La cual está dada por:

$\large\boxed {\bold {d (P,r) = \left|\frac{A \ (x_{1}) + B \ ( y_{1} )+ C }{ \sqrt{A^{2}+B ^{2} } }\right | }}$

Donde la recta debe estar expresada en su forma general también llamada forma implícita

Siendo la forma general:

$\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}$

Siendo la ecuación de la recta

$\large\boxed {\bold { 4x -5y +8 = 0 }}$

La cual ya está expresada en la forma general

Siendo el punto

$\large\boxed {\bold { P(-6,4) = ( x_{1}, y_{1} ) }}$

Reemplazamos los valores de los coeficientes de la recta dada y de las coordenadas del punto en la fórmula anterior para hallar la distancia del punto a la recta

Nótese que en la fórmula se busca el valor absoluto, dado que es una medida de longitud y no existen longitudes negativas

Por lo tanto

$\large\boxed {\bold {d (P, r) = \left|\frac{A \ (x_{1}) + B \ ( y_{1} )+ C }{ \sqrt{A^{2}+B ^{2} } }\right | }}$

La distancia estará expresada en unidades

$\bold{d(P, r) = \overline{PQ}}$

$\boxed {\bold {d(P,r) = \left|\frac{(4)\ . \ (-6) + (-5) \ . \ ( 4 )+8 }{ \sqrt{4^{2}+ (-5)^{2} } }\right | }}$

$\boxed {\bold {d(P,r) = \left|\frac{-24-20+8 }{ \sqrt{16+25 } }\right | }}$

$\boxed {\bold {d (P,r) = \left|\frac{-36 }{ \sqrt{41} }\right | }}$

$\boxed {\bold {d(P,r) = \frac{36}{ \sqrt{41} } }}$

Quitamos la raíz del denominador

$\boxed {\bold {d(P,r) = \frac{36}{ \sqrt{41} } \ . \ \frac{\sqrt{41} }{\sqrt{41} } }}$

$\large\boxed {\bold {d(P,r) = \frac{36 \sqrt{41} }{ 41 } \ unidades \approx \ 5.62 \ unidades }}$

Luego la distancia del punto P (-6, 4) a la recta dada es de:

En forma exacta:

$\large\boxed {\bold {d(P,r) = \frac{36 \sqrt{41} }{ 41 } \ unidades }}$

En forma decimal:

$\large\boxed {\bold {d(P,r) \approx \ 5.62 \ unidades }}$

Se adjunta gráfico