Question

Calcula el valor del ángulo más pequeño entre los lados de un triángulo de medidas 160m, 250m y 320m.
Se que suena muy simple pero lo intente varias veces y no me da, agradecería la ayuda.

Answer 1

El ángulo más pequeño de este triángulo tiene un valor de 29.47°, siendo el ángulo opuesto al lado de menor magnitud de 160 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Donde se conocen las magnitudes de los tres lados del triángulo

$\bold{a = 160 \ m }$

$\bold{b = 250 \ m }$

$\bold{c =320 \ m }$

Donde se pide calcular el valor del ángulo más pequeño del triángulo

En todo triángulo se cumple que a mayor lado se opone mayor ángulo y del mismo modo a menor lado se opone menor ángulo

Pudiendo afirmar que el ángulo más pequeño será el opuesto al lado de menor magnitud. Siendo para este triángulo el ángulo de menor valor el opuesto al lado de menor dimensión que es el lado de 160 metros

Los cálculos nos darán la razón

Para resolver este ejercicio y determinar los ángulos desconocidos del triángulo vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Hallamos el ángulo A

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{(250 \ m)^{2} + (320 \ m) ^{2} - (160 \ m)^{2} }{2 \ . \ 250 \ m \ . \ 320 \ m } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{62500 \ m^{2} + 102400 \ m^{2} - 25600\ m^{2} }{160000 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{164900 \ m^{2} - 25600 \ m^{2} }{160000 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{139300 \not m^{2} }{160000 \not m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{ 139300}{160000 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )=0.870625 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {A=arccos( 0.870625 ) }}$

$\boxed {\bold {A = 29.46865^o }}$

$\large\boxed {\bold {A =29.47^o }}$

Hallamos el ángulo B

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \ . \ a \ . \ c \ } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{(160 \ m )^{2} + (320 \ m )^{2} - (250 \ m )^{2} }{2 \ . \ 160 \ m \ . \ 320 \ m } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{25600\ m^{2} + 102400\ m^{2} - 62500 \ m^{2} }{102400 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{128000\ m^{2} - 62500 \ m^{2} }{102400 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{65500 \not m^{2} }{102400 \not m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 65500 }{102400 } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= 0.6396484375 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del coseno para hallar el \'angulo}$

$\boxed {\bold {B=arccos( 0.6396484375 ) }}$

$\boxed {\bold {B = 50.23439^o }}$

$\large\boxed {\bold {B = 50.23^o }}$

Hallamos el ángulo C

Como la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo determinamos el valor del tercero

Planteando

$\boxed {\bold {180^o= A +B +C }}$

$\boxed {\bold {180^o= 29.47^o +50.23 ^o +C }}$

$\boxed {\bold {C = 180^o- 29.47^o -50.23 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {C = 100.30^o }}$

Luego el ángulo más pequeño de este triángulo tiene un valor de 29.47°, siendo el ángulo opuesto al lado de menor magnitud de 160 metros

Se agrega gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteadas