Calcula el valor de n sabiendo que n = 21 . 15 ^n tiene 20 divisores compuestos
Con resolución por favor
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
ExplicaN = 21 x 15^n
Entonces descompones los nros en factores primos. (Puedes hacerlo con la calculadora >>> pones el nro y aprietas “shift + fact”.
N= [3 x 7] x [ 3^n x 5^n ]
N= 3^n+1 x 7 x 5^n (para hallar la cantidad de divisores totales debes sumar uno a los exponentes de sus factores primos y multiplicarlos. )
(n+1+1)(1+1)(n+1) = 20 + 4 (que son los divisores simples el 3, 5, 7 y el 1.)
(n+2)(2)(n+1) = 24
2(n^2 + n + 2n + 2) = 24
2n^2 + 6n + 4 = 24
2n^2 + 6n - 20 = 0 (puedes resolverlo con la cuadratica o factorizando.)
n = 2ción paso a paso:
El valor de n para que 21*15ⁿ tenga 20 divisores compuestos es igual a 4
¿Cómo calcular la cantidad de divisores de un número?
Si tenemos un número y encontramos la descomposición en factores primos donde n1, n2, n3, ...,nn son los exponentes de la factorización entonces tenemos que la cantidad de divisores del número es:
(n1 + 1)(n2 + 1)*...*(nn + 1)
Cálculo del valor de n
Tenemos que 21*15ⁿ tiene 20 divisores compuestos, ahora bien:
21*15ⁿ = (3*7)(3*5)ⁿ = 3ⁿ⁺¹*5*7, entonces el btotal de divisores es:
(n + 2)(1 + 1)(1 + 1) = (n + 2)*4 = 4n + 8
Luego los divisores primos son 3, 5 y 7, y tenemos el número 1 que no es primo ni compuesto, para un total de 4 divisores que no son compuestos, entonces el total de divisores compuestos es:
4n + 8 - 4 = 20
4n + 4 = 20
n + 1 = 5
n = 5 - 1
n = 4
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