Question

calcula el perimetro de un region hexagonal regular cuya diagonal mayor mide 24 cm

Answer 1

Tenemos que, el perímetro de la región hexagonal regular cuya diagonal mayor mide 24 cm, está dado por 72 cm

Planteamiento del problema

Vamos a una figura hexagonal regular, por hexagonal entendemos que posee 6 lados y por regular, quiere decir que todos sus lados son iguales

La diagonal mayor se puede trazar de un vértice hacia su otro extremo, siempre que el vértice sea su opuesto, por lo tanto, vamos a trazar la diagonal mayor de forma horizontal, esta será igual a 24

Luego trazamos desde la parte superior, una recta perpendicular hacia la diagonal mayor, esto nos va a dividir la diagonal mayor en 3 segmentos, que sumados serán iguales a 24

Ahora, para saber la forma que tendrán dichos segmentos, vamos a conocer sus ángulos por medio del número de lados

                          $S_a = 18(n-2) = 18(6-2) = 18*4 = 720$

Donde $n$ es el número de lados, por lo tanto, la suma de los ángulos está dada por $S_a = 720$, entonces como posee 6 lados, cada ángulo en su vértice se forma por $720/6 = 120$, ángulos de 120 grados

Ahora, la división que tenemos con la diagonal mayor, nos dejara un ángulo partido por la mitad, es decir, 120/2 = 60, dado que parte desde el centro del vértice, como la recta perpendicular a la diagonal mayor es de 90 grados por ser perpendicular, el ángulo faltante será de 30 grados

Dado que la suma de los ángulos internos debe ser 180, con respecto al triángulo que se forma

Por lo tanto, sabemos que para dichos ángulos, los lados están expresados de forma algebraica por razones notables, para la base tomaremos la siguiente

                                              $x+2x+x = 24$

Ya que el triángulo tiene las siguientes propiedades

• Hipotenusa: $2x$
• Base: $x$
• Altura: $x\sqrt{3}$

En consecuencia, la hipotenusa es uno de los lados del hexágono regular, como resultado, despejando $x$ para luego sustituir, obtendremos un lado

                                              $4x = 24 \Rightarrow x = 6$

Entonces, los lados del hexágono miden $2*6 = 12$, entonces, como tiene 6 lados, debemos multiplicar un lado por el número de lados para obtener el perímetro, $12* 6 = 72$

Podemos ver la imagen al final para mejor visualización

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#SPJ1