Question

Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABCF es un rectángulo y CDEF es un rombo. *  52 38 48 46 Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. *  40 32 48 50 Calcula el perímetro de la región sombreada. *  180 200 320 360 Si el perímetro de la figura ABCD es 96 cm, calcula el perímetro del triángulo equilátero APB. *  45 cm 32 cm 36 cm 42 cm ​

Answer 1

Respuesta:

21. Un trapecio ABCD está inscrito en una circunferencia de radio R. La base mayor es AB=a, la base

menor CD=b y el ángulo CAB   30º . Demuestra que

2 2

3

a b ab R

 



Solución

El trapecio ha de ser isósceles, ya que por ser cíclico DAB BCD   180º  y por ser trapecio

180º   BCD ABC  . Por tanto, el trapecio es simétrico con respecto al eje que une los puntos

medios de las bases F y G. ACD CAB    30º (alternos internos entre paralelas)

El triángulo EGC es un 30º-60º-90º, por lo que 3

2 2 3

b b GC GE GE    

Por la misma razón, en el triángulo AFE:

2 3

a

EF 

La altura h del trapecio es, por tanto,

2 3

a b h GF 

 

Siendo O el centro de la circunferencia circunscrita,

BOC  60º , por ser central con el mismo arco que el

inscrito CAB   30º

Pero el triángulo COB es isósceles, pues OC OB R   ,

por tanto ha de ser equilátero. Así BC OB OC R   

Si D’ es la proyección ortogonal de D sobre AB tenemos que

'

2

a b AD 

 . Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo AD D' :

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 4 4

. . .

12 4 12 3

a b a b a b ab a b ab R c q d      

   

PROPUESTA 1

Si CAB  es un ángulo agudo cualquiera  , hallar R en función de a b y ,  .

Solución

Procederíamos de forma análoga usando un poco de trigonometría:

2

a b h tg



 y BC AD R sen   2  , con lo cual:

   

2 2 2 2 2

2 2 2 4

2 2 4

a b a b a b tg a b

R sen tg R

sen



 



Explicación paso a paso: