Question

Calcula el diámetro que debe tener el émbolo mayor de una prensa hidraulica para obtener una fuerza de 4500 N, cuando en el embolo menor hay un diámetro de 15 cm y se aplica una fuerza de 200 N.
R:D=71.15 cm​

Answer 1

El diámetro que debe tener el émbolo mayor es de 71.15 centímetros

Empleamos el Principio de Pascal

Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde consideramos que los émbolos se encuentran a la misma altura

Por tanto se tienen dos émbolos uno pequeño o el émbolo menor de un lado y el émbolo mayor al otro lado

Donde si se aplica una fuerza F al émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo de mayor área o embolo mayor

Para que se cumpla la relación

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Datos

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor }\ \ \ \bold{200 \ N}$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{4500 \ N}$

$\bold{ d_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Di\'ametro \'embolo menor}\ \ \ \bold{15 \ cm}$

Luego por enunciado sabemos que las fuerzas aplicadas sobre los émbolos menor y mayor son respectivamente de 200 N y de 4500 N

Siendo

$\bold{ F_{A} = 200 \ N }$

$\bold{ F_{B} = 4500 \ N }$

Determinamos la superficie o área del émbolo menor

El émbolo menor tiene un diámetro de 15 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ \left( \frac{D^{2} }{4} \right) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ \frac{(15 \ cm) ^{2} }{4} }}$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ \frac{225 \ cm ^{2} }{4} }}$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ 56.25 \ cm^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{A} = 176.71 \ cm^{2} }}$

La superficie o área del émbolo menor es de 176.71 centímetros cuadrados

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor }\ \ \ \bold{200 \ N}$

$\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor }\ \ \ \bold{176.71 \ cm^{2} }$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{4500 \ N}$

$\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor }$

Hallamos la superficie o área del émbolo mayor

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ 200 \ N }{ 176.7 \ cm^{2} } = \frac{ 4500\ N }{ S_{B} } }}$

$\boxed{ \bold{ S_{B} = \frac{ 4500 \ \not N \ \ . \ 176.71 \ cm^{2} }{200 \ \not N } }}$

$\boxed{ \bold{ S_{B} = \frac{ 79195 }{200 } \ cm^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold{ S_{B} = 3975.975 \ cm^{2} }}$

La superficie o área del émbolo mayor es de 3975.975 centímetros cuadrados

Determinamos el diámetro del émbolo mayor a partir de su área

Empleando la fórmula para calcular el área de un círculo, donde despejaremos el diámetro

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ \left( \frac{D^{2} }{4} \right) }}$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ \left( \frac{D_{B} ^{2} }{4} \right) }}$

$\textsf{Despejamos el di\'ametro }$

$\boxed{ \bold{d_{B} = \sqrt{ \frac{ S_{B} \ . \ 4 }{\pi } } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ d_{B} = \sqrt{ \frac{ 3975.975 \ cm^{2} \ . \ 4 }{\pi } } }}$

$\boxed{ \bold{ d_{B} = \sqrt{ \frac{ 15903.9 \ cm^{2} }{\pi } } }}$

$\boxed{ \bold{ d_{B} = \sqrt{ 5062.3685988\ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ d_{B} = 71.15032\ cm }}$

$\large\boxed{ \bold{ d_{B} = 71.15\ cm }}$

El diámetro que debe tener el émbolo mayor es de 71.15 centímetros