calcula el área y volumen de la pirámide altura 8 lado 6
Respuestas a la pregunta
El volumen de la pirámide es:
120cm3120 \: cm {}^{3}120cm
3
El área de la pirámide es:
45+1573cm245 + 15 \sqrt{73} \: cm {}^{2}45+15
73
cm
2
Explicación paso a paso:
El volumen de una pirámide es:
V=ab×h3V = \frac{ab \times h}{3}V=
3
ab×h
ab=area de la base
h=altura
Para encontrar el volumen necesitamos saber el área de la base, la cual es un pentágono regular.
Para hallar el área de un polígono regular se usa la fórmula:
A=p×a2A = \frac{p \times a}{2}A=
2
p×a
A=area del poligono
a=apotema
p=perimetro
El perimetro de un polígono regular es:
P=lnP = lnP=ln
p=perimetro
L=medida del lado
n=número de lados
El número de lados de la base es 5, ya que es una base pentagonal.
p=6(5)p = 6(5)p=6(5)
p=30p = 30p=30
Ahora hallamos el área de la base:
ab=30×32ab = \frac{30 \times 3}{2}ab=
2
30×3
ab=902ab = \frac{90}{2}ab=
2
90
ab=45cm2ab = 45 \: cm {}^{2}ab=45cm
2
Ahora hallamos el volumen:
V=8(45)3V = \frac{8(45)}{3}V=
3
8(45)
V=3603V = \frac{360}{3}V=
3
360
V=120cm3V = 120 \: cm {}^{3}V=120cm
3
Y ahora encontraremos el área de la piramide:
En el caso de una pirámide pentagonal regular la fórmula para el área es:
AT=ab+5(ac)AT = ab + 5(ac)AT=ab+5(ac)
AT=area total
ab=area de la base
ac=area de una de las caras de la piramide
Sabemos que el área de la base es 45 centimetros cuadrados.
La cara de una pirámide es un triangulo, por lo que su área es:
ac=bc×hc2ac= \frac{bc \times hc}{2}ac=
2
bc×hc
ac=area de la cara
bc=base de la cara
hc=altura de la cara
La base de la cara es la misma medida del lado de la base de la pirámide, el cual es 6 cm.
La altura de la cara se puede hallar por teorema de pitagoras:
La altura de la pirámide es 8 cm, y la apotema es 3cm.
Entre la apotema, la altura de la pirámide y la altura de una cara se forma un triangulo rectángulo.
(ver imagen de arriba)
Si sabemos 2 valores de un triangulo rectángulo podemos sacar el tercero por teorema de pitagoras con la siguiente fórmula:
c=a2+b2c = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} }c=
a
2
+b
2
c=Lado más grande de un triangulo rectángulo (hipotenusa)
a=un lado del triangulo (cateto)
b=el otro lado del triangulo (otro cateto)
En el triangulo que se forma, la altura de la cara es la hipotenusa, sustituyendo:
hc=32+82hc = \sqrt{3 {}^{2} + 8 {}^{2} }hc=
3
2
+8
2
hc=9+64hc = \sqrt{9 + 64}hc=
9+64
hc=73hc = \sqrt{73}hc=
73
Ahora que ya tenemos los valores necesarios para sacar el área de la cara, lo hacemos:
ac=bc×hc2ac = \frac{bc \times hc}{2}ac=
2
bc×hc
ac=6×732ac = \frac{6 \times \sqrt{73} }{2}ac=
2
6×
73
ac=373ac = 3 \sqrt{73}ac=3
73
Ya podemos sacar el área de la piramide:
AT=ab+5acAT = ab + 5acAT=ab+5ac
AT=45+5(373)AT = 45 + 5(3 \sqrt{73} )AT=45+5(3
73
)
AT=45+1573cm2AT = 45 + 15 \sqrt{73} \: cm {}^{2}AT=45+15
73 cm
