Question

Calcula el ángulo C del triángulo cuyos vértices son A(-3,0), B(0,7) y C(7,4)


a.
36 grados


b.
45 grados


c.
60 grados

Answer 1

Respuesta:

b. 45 grados

Explicación:

Primero ubiqué los puntos en el plano cartesiano, después saqué la distancia entre cada punto (AB, BC, AC) y, por ultimo, con respecto a la distancia entre cada punto, saqué los ángulos.

Es un triangulo isósceles.

Buena suerte, espero haber ayudado. :)

Answer 2

El ángulo formado en el vértice C es de 45º, opción b.

¿Cómo hallar el ángulo formado en el vértice C?

Debido a que hay varias condiciones a partir de las cuales se puede obtener el ángulo formado en el vértice C, se procede con un análisis por pasos para hallar la solución.

1. Se hallan las distancias o longitudes de cada uno de los lados del triángulo, esto mediante el cálculo de las longitudes de los segmentos de rectas existentes entre los puntos A, B, y C. Este cálculo se realiza a partir de la ecuación:

$\displaystyle{\bf d(p_1,p_2)=\sqrt{(p_x_2-p_x_1)^2+(p_y_2-p_y_1)^2}}\hspace{10}(1)$

En nuestro caso, al sustituir datos en la ecuación (1), se tiene:

$\bullet\hspace{5}\displaystyle d(A,B)=\sqrt{(B_x-A_x)^2+(B_y-A_y)^2}=\sqrt{(0-(-3))^2+(7-0)^2}=\sqrt{3^2+7^2}= \sqrt{58}=7,62$

$\bullet\hspace{5}\displaystyle d(B,C)=\sqrt{(B_x-C_x)^2+(B_y-C_y)^2}=\sqrt{(0-7)^2+(7-4)^2}=\sqrt{(-7)^2+3^2}= \sqrt{58}=7,62$

$\bullet\hspace{5}\displaystyle d(A,C)=\sqrt{(A_x-C_x)^2+(A_y-C_y)^2}=\sqrt{(-3-7)^2+(0-4)^2}=\sqrt{(-10)^2+(-4)^2}= \sqrt{116}=10,77$

Las longitudes correspondientes a los lados son a = b = 7,62 y c = 10,77

2. Empleando el teorema del coseno al triángulo isósceles (aquel donde dos de sus tres lados son iguales) hallado, se calcula el ángulo buscado, el ángulo en el vértice C.

El teorema establece que en un triángulo, cualquier lado está determinado por los otros dos lados y por el coseno del ángulo formado por estos dos lados. Partimos de la ecuación:

$\displaystyle{\bf a^2=b^2+c^2-2.b.c.cos(\gamma)\hspace{10}(2)}$

Donde:

a = lado del triángulo = 7,62

b = lado del triángulo = 7,62

c = lado del triángulo = 10,77

cos(γ) = ángulo formado por los lados b y c = ¿?

Despejando el ángulo γ en (2) y sustituyendo datos, tenemos:

$\displaystyle{\bf \gamma=cos^{-1}\frac{b^2+c^2-a^2}{2.b.c}}=cos^{-1}\frac{10,77^2+7,62^2-7,62^2}{2.10,77.7,62}=\\\\cos^{-1}\frac{116}{164}={\bf 45\º}$

El ángulo buscado es de 45º.

Para conocer más acerca de operaciones con triángulos, visita:

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