Question

Cada vez que David responde una pregunta de manera correcta, su papá duplica el dinero que tiene y, además, le da S/ 3 más. Si después de responder 3 preguntas correctas de manera consecutiva David tiene S/ 85, ¿Cuánto dinero tenia inicialmente? porfa

Answer 1

David tenía inicialmente S/ 8

Para poder determinar el dinero inicial de David, debemos observar que esta sigue un patrón recursivo, de la siguiente manera

$d_n = 2d_{n-1} + 3$

Donde d_n es el dinero que tiene después de aprobar n exámenes, si se resuelve esta recursión, se llega a la siguiente conclusión

$d_n = 2^nd_0 + 3(2^{n+1} - 1)$

Para ver esto, observe

$d_n = 2d_{n-1} + 3 = 2( 2d_{n-2} + 3) + 3 = 2^2d_{n-2} + 3(1 + 2) \\\\d_n = 2^2(2d_{n-3} + 3) + 3(1 + 2) = 2^3d_{n-3} + 3(1 + 2 + 2^2)\\\\d_n = 2^nd_0 + 3\sum_{k = 0}^{n-1}{2^k}$

La última serie es una serie geométrica que sabemos que su solución es 2^n - 1, por lo que la sucesión queda descrita por

$d_n = 2^n d_0 + 3(2^n -1)$

Por lo que tenemos una forma fácil de obtener el valor de d0 si hacemos n = 3 y d3 = 85, es decir

85 = 2³d0 + 3(2³-1)

85 = 8d0 + 21

64 = 8 d0

d0 = 8

Es decir, David tenía inicialmente S/ 8