Question

Buenos días, me pueden ayudar con esta tarea :)

Se va a realizar un campeonato de fútbol donde participaran 8 equipos, donde jugarán en la primera ronda todos contra todos y sólo una vez cada par ¿Cuántos partidos se jugarán en la primera ronda? ¿De cuántas maneras de pueden escoger los dos equipos?

Answer 1

Respuesta:

Solo me se la primera

Explicación paso a paso:

Si no estoy mal solo se jugarían 27 partidos

Answer 2

Respuesta:

Se jugarán 28 partidos aunque dos equipos se pueden escoger de 56 formas distintas (pues sí importa el orden).

Explicación paso a paso:

Si eliges un equipo, contra él sólo pueden jugar 7 equipos. Y como hay 8 formas distintas de elegir el primer equipo, parece que se jugarían 8·7=56 partidos.

Pero observa que hay partidos que estás contándolo dos veces.

Llamemos a los 8 equipos con un nombre. Por ejemplo E1, E2, E3, ... E8. ¿De acuerdo?

Un partido lo podrían disputar la pareja (E1, E2). Pero... sería el mismo partido que el que jugaría la pareja (E2, E1). Así que ese partido lo estás contando dos veces. Esto mismo sucede con todas las parejas...

Así que la solución es $\dfrac{8\cdot7}{2}=\dfrac{56}{2}=28$.

Todo esto se corresponde con el número de variaciones de 8 elementos (el número de equipos) tomados de dos en dos. Son variaciones porque no nos importa el orden en el que se eligen los equipos. En este caso se notaría por

$V^8_2=\binom{8}{2}=\dfrac{8\cdot7}{2}=28.$

Si $m\leq n$, la fórmula general del número de variaciones de $n$ elementos tomados de $m$ en $m$ es:

$V^n_m=\binom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!\,(n-m)!}$