Question

buenas me ayudan sean u, v y w vectores en r3 demuestre que u x (v + w) = (u x v) + (u x w)

Answer 1

Aplicando propiedades matemáticas se demuestra:

u×(v + w)  = (u×v) + (u×w)

Explicación paso a paso:

u = (u₁ u₂ u₃)

v = (v₁ v₂ v₃)

w = (w₁ w₂ w₃)

u×(v + w)

v + w = (v₁ v₂ v₃) + (w₁ w₂ w₃)

v + w = (v₁+w₁ v₂+w₂ v₃+w₃)

Aplicar producto vectorial;

= (u₁ u₂ u₃)×(v₁+w₁ v₂+w₂ v₃+w₃)

= [u₂(v₃+w₃)-u₃(v₂+w₂), u₃(v₁+w₁) - u₁(v₃+w₃), u₁(v₂+w₂) - u₂(v₁+w₁)]

(u×v) + (u×w)

u×v = (u₁ u₂ u₃)×(v₁ v₂ v₃)

u×v = (u₂v₃ - u₃v₂ ; u₃v₁ - u₁v₃ ; u₁v₂ - u₂v₁)

u×w = (u₁ u₂ u₃)×(w₁ w₂ w₃)

u×w =(u₂w₃ - u₃w₂ ; u₃w₁ - u₁w₃  ; u₁w₂ - u₂w₁)

(u×v) + (u×w)

= (u₂v₃ - u₃v₂ ; u₃v₁ - u₁v₃  ; u₁v₂ - u₂v₁) + (u₂w₃ - u₃w₂ ;u₃w₁ - u₁w₃ ; u₁w₂ - u₂w₁)

= (u₂v₃ - u₃v₂+ u₂w₃ - u₃w₂  ; u₁v₃ - u₃v₁ + u₁w₃ - u₃w₁ ; u₁v₂ - u₂v₁+ u₁w₂ - u₂w₁)

Factorizar;

= [u₂(v₃+w₃)-u₃(v₂+w₂), u₃(v₁+w₁) - u₁(v₃+w₃), u₁(v₂+w₂) - u₂(v₁+w₁)]

Se demuestra que u×(v + w)  = (u×v) + (u×w)