Question

Buenas!
¿Como se resuelve este ejercicio de optimización?

Answer 1

RESPUESTA:

Tenemos la siguiente ecuación:

E = I·Cos(θ)/γ²

Ahora, debemos dejar la iluminación en función de la altura, tenemos inicialmente que:

Cos(θ) = CA/H

Cos(θ= h/γ

Ahora, debemos dejar el termino 'γ' en función de la altura, pudiéramos aplicar Pitágoras, tenemos:

γ² = r² + h²

Ahora, sustituimos en la ecuación principal, tenemos:

E = I·h/γ²·γ

E = I·h/(r²+h²)³/²

Entonces, sustituimos los datos y tenemos que:

E = 100·h/√[(1+h²)³]

Ahora, debemos buscar la altura máxima, para ello derivamos respecto a la altura, tenemos:

dE/dh = [100·√[(1+h²)³] - 100h·(3h·√1+h²)]/(1+h²)³

Igualamos a cero, tenemos:

[100·√[(1+h²)³] - 100h·(3h·√1+h²)]/(1+h²)³ = 0

Simplificamos el denominador:

[100·√[(1+h²)³] - 100h·(3h·√1+h²)] = 0

Sacamos factor común:

(√1+h²) · [100·(1+h²)-300h²] = 0

Tenemos que para que sea cero la expresión solamente se puede si:

[100·(1+h²)-300h²] = 0

Simplificamos:

100 + 100h² - 300h² = 0

100 = 200h²

h² = 0.5

h = 0.70 m

Entonces, para que la iluminación sea máxima se debe colocar a una distancia de 0.70 metros de altura.