Question

Bart Simmons tiene un jardín floral de 12 por 9 metros, y quiere construir un camino de grava de ancho, uniforme por la parte interior del jardín y a lo largo de cada lado, de modoque el espacio resultante tendrá la mitad del área del jardín original. Que ancho tendrá el camino de grava?

Answer 1

Hallamos primero el area del camino: 12 m x 9 m = 108 m²

Como el camino tiene la mitad del area total = 108 m²/2 = 54 m²

Se nos presenta la siguente situacion: (Ver imagen del anexo)

Donde el area del camino estaria compuesta por:

2 Rectangulos de 12 metros de largo y ancho X

2 Rectangulos de 9 - 2X metros de largo y ancho X

Area del camino = 2(12X) + 2[(9 - 2X)X]

Area del camino  = 24X + 2[9X - 2X²]

54 = 24X + 18X - 4X²

54 = 42X - 4X²

0 = 42X - 4X² - 54

0 = -4X² + 42X - 54 (Ecuacion de segundo grado para X)

Donde: a = -4; b = 42; c = -54

$X=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$X=\frac{-(42)\pm \sqrt{(-42)^2-4(-4)(-54)}}{2(-4)}$

$X=\frac{-42\pm \sqrt{1764-864}}{-8}$

$X=\frac{-42\pm \sqrt{900}}{-8}$

$X=\frac{-42\pm \ 30}{-8}$

X1 = [-42 + 30]/-8 = -12/-8 = 3/2 = 1.5

X1 = 1.5

X2 = [-42 - 30]/-8 = -72/-8 = 9

X2 = 9

Tomo X1 = 1.5 ya que el X2 = 2 no me cumple con la ecuacion 9X - 2X²

X = 1.5 metros

Probemos:

Area camino = 2(12(1.5)) + 2(1.5(9 - 2(1.5))

Area camino = 2(18) + 2(1.5(9 - 3))

Area Camino = 36 + 2(1.5(6))

Area camino = 36 + 2(9) = 36 + 18 = 54 Cumple.

Rta: El espesor del camino debe ser de 1.5 metros

Te anexo grafico de la situacion