Question

b) Una persona está al costado de un edificio y usando un transportador, mide del suelo hacia la parte más alta del edificio
un ángulo de 32°, si avanza 40 metros hacia el edificio ésta forma un ángulo de 45°. Calcula la distancia desde el punto
inicial del observador al punto más alto del edificio.

Answer 1

La distancia del observador al punto más alto del edificio es de aproximadamente 125.74 metros

Se trata de un problema trigonométrico que contendrá a tres triángulos, por tanto:

Según la figura que se adjunta se representa la situación del problema en dos triángulos rectángulos:

El triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del edificio, el lado BC que representa la distancia sobre el plano del suelo desde el observador hasta la base del edificio - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción: la del segmento DB, donde el observador avanzó 40 metros hacia otro punto en el suelo en dirección al edificio y el lado AB es la proyección visual hacia la parte más alta del edificio con un ángulo de elevación de 32°

El triángulo rectángulo ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura del edificio, el lado DC que es la distancia sobre la línea del suelo desde el observador hasta la base del edificio luego de haber avanzado en línea recta hasta allí 40 metros. Esta distancia es de valor desconocido y no se pide hallar su dimensión. Y por último tenemos el lado AD que equivale a la proyección visual hacia la cima del edificio con un ángulo de elevación de 45° -dado que al avanzar el observador 40 metros hacia el edificio el ángulo de elevación varió-

Notamos que se forma un tercer triángulo oblicuángulo ABD: el cual está conformado por el lado BD (a) que es la distancia recorrida por el observador desde el punto inicial de observación hasta el segundo punto de avistamiento, -de la cual conocemos su magnitud-, el lado BA (c = x) que es la longitud visual hasta la cima del edificio con un ángulo de elevación de 32° y es a la vez la distancia desde el punto inicial del observador hasta la parte más alta del edificio y nuestra incógnita. Y finalmente el lado AD (b) que es la línea visual y también la distancia desde el segundo punto de avistamiento hasta la parte más alta del edificio

Dado que se pide hallar la distancia desde el punto inicial del observador hasta la parte más alta del edificio trabajamos en el triángulo oblicuángulo ABD para la resolución del problema

Trabajamos  en el triángulo oblicuángulo ABD

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo oblicuángulo  ABD

Denotamos al ángulo dado por enunciado: B de 32° como β

$\large\boxed {\bold { \beta = 32^o }}$

Hallamos el valor del ángulo en D al cual denotamos como γ

Donde dado que conocemos un ángulo de elevación de 45° desde D hasta A, el cual conforma con el ángulo buscado un ángulo llano de 180° dado que son suplementarios

Se tiene

$\boxed {\bold { \gamma = 180^o - 45 ^o}}$

$\large\boxed {\bold { \gamma = 135^o}}$

Hallamos el valor del tercer ángulo A del triángulo oblicuángulo al cual denotamos como α

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 32^o+ 135^o+ \alpha}}$

$\boxed {\bold {\alpha = 180^o - 32^o- 135^o }}$

$\large\boxed {\bold {\alpha = 13 ^o }}$

Calculamos la distancia desde el punto inicial del observador hasta la cima del edificio (BA = x)

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{x}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{x}{sen(D)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{40\ m}{ sen(13 ^o ) } = \frac{ x }{sen(135^o) } }}$

$\boxed { \bold { x = \frac{ 40 \ m \ . \ sen(135^o ) }{sen(13^o) } }}$

$\boxed { \bold { x = \frac{ 40\ m \ . \ 0.707106781187}{ 0.224951054344 } }}$

$\boxed { \bold { x = \frac{ 28.28427124748 }{ 0.224951054344 }\ m }}$

$\boxed { \bold { x \approx 125.735224 \ m }}$

$\large\boxed { \bold { x \approx 125.74 \ metros }}$

Luego la distancia del observador al punto más alto del edificio es de aproximadamente 125.74 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas

Nota Aclaratoria: Se resolvió el ejercicio tomando los datos escritos en el enunciado. Por tanto se empleó el ángulo de elevación de 32°, y NO el ángulo de elevación de 30° que figura en el gráfico que acompaña al problema