Question

AYUUUUDAAA,,, En una circunferencia, los extremos de uno de sus diámetros son L(-4,5) y M(2,-3). Determine la ecuación de la circunferencia.​

Answer 1

【Rpta.】La ecuación de la circunferencia es (x+1)² + (y-1)² = 25

                                 $\green{{\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}}$

Recordemos que la ecuación de una circunferencia se define como:

$\overset{\mathsf{\vphantom{\Big |}Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}}}}\hspace{20pt} \mathsf{Donde}\hspace{10pt}\begin{array}{ll}\mathsf{\blue{\rightarrow}\ \mathrm{r:radio}} \\\\\mathsf{\blue{\rightarrow}\ \mathrm{(h,k): Centro\:de\:la\:circunferencia}}\end{array}$

Como observamos necesitamos conocer el radio y el centro, entonces

✅ Hallemos el radio

Por ello determinaremos la distancia entre los puntos L y M

                                $\begin{array}{c}\mathsf{d[L,M]=\sqrt{[(-4)-(2)]^2+[(5)-(-3)]^2}}\\\\\mathsf{d[L,M]=\sqrt{(-6)^2+(8)^2}}\\\\\mathsf{d[L,M]=\sqrt{36+64}}\\\\\mathsf{d[L,M]=\sqrt{100}}\\\\\boldsymbol{\mathsf{d[L,M]=10\:u}}\end{array}$

Lo que acabamos de hallar es el diámetro, pero nosotros queremos el radio, entonces lo dividimos entre 2

                    $\mathsf{Di\acute{a}metro = d[L,M] = 10\qquad\blue{\Rightarrow}\qquad Radio=5}$

✅ Hallemos el centro

Por ello determinaremos el punto medio del segmento L y M

                                   $\begin{array}{c}\mathsf{C(h,k)=\left(\dfrac{-4 + (2)}{2},\dfrac{5 + (-3)}{2}\right)}\\\\\\\mathsf{C(h,k)=\left(\dfrac{-4 + 2}{2},\dfrac{5 - 3}{2}\right)}\\\\\\\mathsf{C(h,k)=\left(\dfrac{-2}{2},\dfrac{2}{2}\right)}\\\\\\\boldsymbol{\mathsf{C(h,k)=(-1,1)}}\end{array}$

Lo único que queda es reemplazar estos valores

                                     $\begin{array}{c}\mathsf{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}\\\\\mathsf{\big[x-(-1)\big]^2+\big[y-(1)\big]^2=\left(5\right)^2}\\\\\mathsf{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{(x+1)^2+(y-1)^2=25}}}}}\end{array}$

⚠ La gráfica en la imagen solo es para comprobar nuestros resultados.

                                            $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$