Question

AYUDENMEE
La base de un triángulo es 5 m menor que la altura; el área mide 33m2
¿Cuánto miden la base y la altura?

Answer 1

La medida de la base del triángulo es de 6 metros siendo su altura de 11 metros

Solución

Se pide hallar la base y la altura de un triángulo dada su área

En donde se sabe que la base del triángulo es 5 metros menor que la altura

Determinamos una ecuación que resuelva el problema

Recordemos que

La fórmula general para calcular el área de un triángulo es el producto de la base por la altura dividida entre dos

$\boxed {\bold { Area \ Triangulo= \frac{ Base\ . \ Altura }{2} }}$

Donde

Llamaremos variable x a su altura,

$\large\textsf{Altura = x }$

Y sabiendo que la base es 5 metros menor que la altura será (x-5)

$\large\textsf{Base = (x - 5) }$

Conocemos el valor del área del triángulo que es de 33 m²

$\large\textsf{\'Area = 33 }\bold {m^{2}}$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

Si

$\boxed {\bold { Area \ Triangulo= \frac{ Base\ . \ Altura }{2} }}$

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed {\bold { 33= \frac{ (x-5) \ . \ x }{2} }}$

$\boxed {\bold { \frac{ (x-5) \ . \ x }{2} = 33 }}$

$\boxed {\bold { \frac{ x^{2} \ - \ 5x }{2} = 33 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ - \ 5x = \ 33 \ . \ 2 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ - \ 5x = \ 66 }}$

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ - \ 5x - \ 66 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual se puede resolver para x

a) Por factorización

$\boxed {\bold { x^{2} \ - \ 5x - \ 66 = 0 }}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -66 y la suma es -5 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -11 , \ 6 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -11 ) (x+6) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 0, la expresión completa será igual a 0

Luego

$\boxed{ \bold{x -11 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 11 }}$

$\boxed{ \bold{x + 6 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -6 }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (x-11)(x+6) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 11, - 6 }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =-5 y c = -66 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm \sqrt{ (-5)^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -66) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm \sqrt{25- 4\ . \ -66 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm \sqrt{25+ 264 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm \sqrt{289 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm \sqrt{17^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm17 }{2 } }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 11, -6 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 11 }}$

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos. Se han desarrollado los dos para que ustedes empleen cualquiera de ellos, o con el que se sientan más familiarizados :)

Luego

$\large\textsf{Altura = x }$

$\large\textsf{Altura = 11 metros }$

$\large\textsf{Base = (x - 5) }$

$\large\textsf{Base = (11 -5) = 6 metros }$

Sabiendo que el área del triángulo es de 33 metros cuadrados

Verificación

$\boxed {\bold { Area \ Triangulo= \frac{ Base\ . \ Altura }{2} }}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold {33 \ m^{2} \ = \frac{ 6 \ m \ . \ 11 \ m }{2} }}$

$\boxed {\bold {33 \ m^{2} \ = \frac{ 66 \ m^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold {33\ m^{2} \ = 33\ m^{2} }}$

Se cumple la igualdad