Question

Ayúdenme porfis es de integrales definidas
y también hacer su gráfica.​

Answer 1

El área acotada entre las dos curvas es  128 / 27 y se obtuvo mediante ...

                                                     Área entre dos  

                                                                   Curvas  

     Para calcular el área entre dos curvas se necesita la regla de ambas

     curvas y los dominios deben estar bien definidos.

     El área se da de la siguiente manera :

                                            $\mathrm{A =\int\limits^b_a {f(x)-g(x)} \, dx }$

    Donde :

     [a,b] es el dominio de la intersección de las funciones

     f(x) esta por encima de g(x)

   

Veamos un ejemplo  

      Nos piden calcular el área de la intersección de las curvas

      Sea  

                      $\mathrm{f(x) = -x^2}$                            

                      $\mathrm{g(x)=\ \cfrac{x^2}{2}-2x-2 }$      

      Entonces

                                          $\mathrm{A =\int\limits^b_a {f(x)-g(x)} \, dx }$      

      Para reconocer si f(x) o g(x) va por encima  uno respecto del

      otro se recurre a graficar las graficas

      Como bien sabemos f(x) es una parábola con vértice en (0,0) y

      dirigida hacia abajo ya que el coeficiente principal es negativo.

      Por otro lado para graficar a g(x) necesitamos llevarlo a su forma

      canónica o es lo mismo decir

                                     $\mathrm{g(x)=\ \cfrac{x^2}{2}-2x-2 }\\ \\ \mathrm{g(x)=\ \cfrac{x^2}{2}-2x+2-2-2}\\ \\ \mathrm{g(x)=\ \left(\cfrac{x}{\sqrt{2}}-\sqrt{2} \right)^2-4}$

    Tener en cuenta la completación de cuadrados para realizar la

    operación anterior.

    Quiere decir que g(x) tiene un vértice en (h,k) = (2,-4) se obtuvo al

    igualar g(x) = 0 para encontrar h e x = 0 para encontrar k    

    Una vez graficado las curvas entonces directamente podemos decir

    que f(x) esta por encima de g(x) por lo tanto platearemos

 

                             $\mathrm{A =\int\limits^b_a {-x^2-\left(-\cfrac{x^2}{2}-2x-2\right) } \, dx }$

    Lo único que quedaría es averiguar los limites de la integración para

    terminar el ejercicio para ello hallaremos los puntos de corte de las

    curvas, para ello se igualaran las funciones

                                          $\mathrm{-x^2=\ \cfrac{x^2}{2}-2x-2 }\\ \\ \mathrm{-2*x^2=\ x^2-4x-4 }\\ \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ 0 =\ 3x^2-4x-4 }\\ \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ 0 =\ (3x+2)(x-2) }$

   Esto quiere decir que las curvas se intersectan en x= -2/3 o en x=2.

   Entonces queda determinado los limites de integración dado que

                                       a = -2/3     y         b = 2

   Por lo tanto se plantea

                                   $\mathrm{A =\int\limits^2_{-\frac{2}{3} } {-x^2-\left(-\cfrac{x^2}{2}-2x-2\right) } \, dx }$

   Lo que quedaría es resolver la integral así que resolvámosla

                                   $\mathrm{A =\int\limits^2_{-\frac{2}{3} } {-x^2+\left(-\cfrac{x^2}{2}+2x+2\right) } \, dx }$

                                   $\mathrm{A =\int\limits^2_{-\frac{2}{3} } {-\cfrac{3x^2}{2}+2x+2 } \, dx }$

                                   $\mathrm{A =-\int\limits^2_{-\frac{2}{3} } \cfrac{3x^2}{2}\ dx+2\int\limits^2_{-\frac{2}{3} }x\ dx+2\int\limits^2_{-\frac{2}{3} } } \, dx }$

                                   $\mathrm{A =-\cfrac{112}{27} +2*\cfrac{16}{9} +2*\cfrac{8}{3} }$

                                   $\mathrm{A =-\cfrac{112}{27} +\cfrac{32}{9} +\cfrac{16}{3} }$        

                                   $\mathrm{A =-\cfrac{112}{27} +\cfrac{32*3}{9*3} +\cfrac{16*9}{3*9} }$

                                   $\mathrm{A =\cfrac{-112+96+144}{27} }$

                                   $\mathrm{A =\cfrac{128}{27} \ m^2 }$

Un cordial saludo.