Question

ayúdenme porfavor me dejan las respuestas abajo

Answer 1

Bueno, no son muy complicados, lo único que hay que tener presente son las leyes de los expoentes y un poco el uso del álgebra elemental, primero vamos a ver las que usaremos para el primer ejercicio...

$\displaystyle \sqrt[n]{xy}= \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y} \\ x^{mn}=[x^{m}]^{n}=[x^{n}]^{m}\\\sqrt[n]{x^{m}}=x^{\frac{m}{n}}=x^{\frac{1}{n}(m)}=[\sqrt[n]{x}]^{m}$

podemos distribuir la raíz n-ésima a cada FACTOR que esté dentro...y además podemos jugar con los exponentes como ves..entonces para el primero tenemos que,,

$E= \displaystyle\sqrt{x^{ \sqrt{4x} }} +\sqrt{x^{ \sqrt{9x} }} +\sqrt{x^{ \sqrt{16x} }} \\ E=\sqrt{x^{ \sqrt{4}\sqrt{x} }} +\sqrt{x^{\sqrt{9} \sqrt{x} }} +\sqrt{x^{ \sqrt{16}\sqrt{x} }} =\sqrt{x^{ 2\sqrt{x} }} +\sqrt{x^{3\sqrt{x} }} +\sqrt{x^{ 4\sqrt{x} }}\\E=(\sqrt{x})^{ 2\sqrt{x} } +(\sqrt{x})^{3\sqrt{x} } +(\sqrt{x})^{ 4\sqrt{x} } \\ E=[\sqrt{x}^{\sqrt{x} }]^{2} +[\sqrt{x}^{\sqrt{x} }]^{3} +[\sqrt{x}^{\sqrt{x} }] ^{4}$

y como sabemos que,  $\displaystyle\sqrt{x}^{\sqrt{x}}=2$ , entonces,

$E=(2)^{2}+(2)^{3}+(2)^{4}=4+8+16=28$

y eso sería todo.

Para el segundo, de igual manera debemos aplicar las mismas propiedades que antes...primero veamos un caso particular...provemos con n=5, entonces nos dice que tenemos (n-2) radicales, es decir con n=5, nos quedarían (5)-2=3 raíces...solo nos interesa...esas benditas raíces...lo que está dentro no hay problema...entonces,

$\textrm{con: }n=5\hspace{3mm} \displaystyle\sqrt[3]{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{3^{3^{n-1}}}} } = \sqrt[3]{ \sqrt[3]{ \left(3^{3^{(n-1)}}\right)^{\frac{1}{3}}} } = \sqrt[3]{ \left(3^{3^{(n-1)}}\right)^{\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)}} =... \\ \\ \\ ...= \left(3^{3^{(n-1)}}\right)^{\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)}=\left(3^{3^{(n-1)}}\right)^{\frac{1}{3^{3}}}$

pero si te das cuenta cuando escogimos el n=5, nos quedaron 3 raíces ¿verdad?, y cada raíz se va a ir acumulando como exponente....pero con 3 raíces, nos va a quedar 3 veces repetido el 3, entonces podríamos generalizar...que,

$\displaystyle R= \sqrt[3]{ \sqrt[3]{... \sqrt[3]{3^{3^{n-1}}} } } =\left(3^{3^{n-1}}\right)^{\frac{1}{3^{n-2}}}$

ahora, sabemos que,  $\displaystyle \frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}$ , entonces,

$\displaystyle R =\left(3^{\left(\frac{3^{n}}{3^{1}}\right)}\right)^{\frac{1}{\left(\frac{3^{n}}{3^{2}}\right)}}=\left(3^{\left(\frac{3^{n}}{3^{1}}\right)}\right)^{\frac{3^{2}}{3^{n}}}=3^{\left(\frac{3^{n}}{3}\right)\left(\frac{3^{2}}{3^{n}}\right)}=3^{3}=27$

y finalmente para el último, tenemos,

$T=\displaystyle \sqrt[\sqrt{2}]{ \sqrt[\sqrt{\sqrt{2}}]{ \sqrt[\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}]{5^{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}} } }$

vamos a trabajarle uno por uno primero,

$\displaystyle \sqrt[ \sqrt{ \sqrt{ \sqrt{2} } } ]{5^{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}} =5^{\frac{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}=5^{\frac{\sqrt{2\sqrt{2(2)^{\frac{1}{2}}}}}{\sqrt{\sqrt{2^{\frac{1}{2}}}}}}=5^{\frac{\sqrt{2\sqrt{2^{\frac{3}{2}}}}}{\sqrt{2^{\frac{1}{4}}}}}=5^{\frac{\sqrt{2(2)^{\frac{3}{4}}}}{2^{\frac{1}{8}}}}=5^{\frac{\sqrt{2^{\frac{7}{4}}}}{2^{\frac{1}{8}}}}\\\\...=5^{\frac{2^{\frac{7}{8}}}{2^{\frac{1}{8}}}}=5^{2^{\frac{7}{8}-\frac{1}{8}}}=5^{2^{\frac{3}{4}}}$

entonces, podemos decir que,

$T=\displaystyle \sqrt[\sqrt{2}]{ \sqrt[\sqrt{\sqrt{2}}]{5^{2^{\frac{3}{4}}}} } = \sqrt[\sqrt{2}]{ \sqrt[2^{\frac{1}{4}}]{5^{2^{\frac{3}{4}}}} } = \sqrt[\sqrt{2}]{\left(5^{2^{\frac{3}{4}}}\right)^{\frac{1}{2^{\frac{1}{4}}}}} =\left(5^{2^{\frac{3}{4}}}\right)^{\left(\frac{1}{2^{\frac{1}{4}}}\right)\left(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\right)}= \\ \\ \\ ...=\left(5^{2^{\frac{3}{4}}}\right)^{\left(\frac{1}{2^{\frac{3}{4}}}\right)}=5^{\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}}}=5$

y eso se´ria todo...

Recuerda las reglas de los exponentes, y el tema es extenso pero fácil