Question

ayúdenme por favor, en la (a) quise demostrarlo desarrollando
${2}^{ - h}$
y de esa manera me daba una función racional, pero al querer Encontrar la (b) con el modelo que utilicé no me dio en la intersección, por favor en serio ya llevo cómo 2 horas con esto :-|​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Análisis de Funciones

$\textbf{Problema :}$

Un objeto a una temperatura de 160°C se saca de un horno y se coloca en un cuarto a 20°C. La temperatura $\textrm{T}$ del objeto se midió cada hora $h$ y se registro en la tabla. Un modelo para los datos está dado por $\textrm{T} = 20(1+7(2^{-h}))$. La gráfica de este modelo se muestra en la figura.

Use la gráfica para identificar la asíntota horizontal del modelo e interprete su significado en el contexto del problema.

Use el modelo para aproximar el tiempo cuando la temperatura del objeto era de 100°C.

RESOLUCIÓN

El primer problema nos pide reconocer la asíntota horizontal apoyándonos visualmente con la gráfica adjunta al problema, antes que nada debemos saber que es una asíntota horizontal.

En términos prácticos una asíntota horizontal es una recta de ecuación $y = k$ de la función $f_{(x)}$ si la gráfica de esta función se va pareciendo cada vez más a la gráfica de $y = k$ para valores de $x$ muy grandes o muy pequeños.

De la gráfica es fácil notar que la función $\textrm{T}_{(h)} = 20(1+7(2^{-h}))$ se va pareciendo cada vez más a la recta $\textrm{T}_{(h)} = 20$ a medida que $h$ se hace muy grande.

Ahora nos queda interpretar el significado de esta asíntota horizontal, para ello, nos pondremos en situación del problema y aplicando nuestros conocimientos de la vida cotidiana podemos dar una respuesta precisa. Según el problema sacamos un objeto del horno, el cual tiene una temperatura inicial de 160 grados celsius, encontrándose en un ambiente de 20 grados celsius, y a medida que transcurre el tiempo este objeto disminuye su temperatura aproximándose cada vez más a la temperatura del ambiente, nosotros sabemos que este acontecimiento no es extraño, ya que por experiencia conocemos que los objetos calientes en un ambiente de menor temperatura tienden a disminuir su temperatura paulatinamente, pero no sabemos precisamente el porqué, el tema que se encarga de la explicación detallada de este fenómeno se explica gracias al equilibrio térmico, el cual responde estas dudas, pero hablar de este tema es salirse de los límites de la pregunta, lo dejo como dato y si el estudiante se anima, pueda seguir investigando por su propia cuenta.

En el segundo problema debemos aprovechar el modelo para aproximar en que tiempo la temperatura del objeto será de 100°C . Note que solo se nos pide una aproximación.

En esencia lo que se pide es resolver la siguiente ecuación.

$\textrm{T}_{(h)} = 20(1+7(2^{-h})) = 100$

Empecemos entonces...

$20(1+7(2^{-h})) = 100 \\ \\ 1+7(2^{-h}) = 5 \\ \\ 7(2^{-h}) = 4 \\ \\ 2^{-h} = \dfrac{4}{7} \\ \\ 2^{h} = \dfrac{7}{4}$

$\textrm{Tomando logaritmo de base 2 ambas partes de la igualdad :}$

$\textrm{log}_{2} (2^{h}) = \textrm{log}_{2} \left( \dfrac{7}{4} \right)$

$h = \textrm{log}_{2} \left( \dfrac{7}{4} \right)$

$h \approx 0.807$

Al final obtenemos que $h$ es aproximadamente $0.807$ horas, o equivalentemente $48$ minutos con $26$ segundos.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{El tiempo aproximado es : 48 minutos con 26 segundos}}$

Answer 2

respuesta

h ≅ 0,81 [horas]

explicación en imágenes adjuntas

tuve que subir la respuesta en imagen por que según el sistema hay palabras ofensivas e inapropiadas