Question

Ayudenme plis.. Determina la inversa de la función f(x)=-x+1 sobre x-3

Answer 1

Para verificar si una función tiene inversa se debe verificar que sea biyectiva, es decir tiene que se inyectiva o uno a uno, y sobreyectivo...bien, para demostrar la primera condición empezamos por suponer que es verdadero que,

 $f(x_{1})=f(x_{2})$

y debemos demostrar que  $x_{1}=x_{2}$, pero antes de eso, vamos a hacer una división entre dos monomios, y obtener alguna más expecífica, entonces lo puedes hacer en una hoja aparte y verificar que,

$\displaystyle\frac{-x+1}{x-3}=-1-\frac{2}{x-3}$

y antes de nada vamos a proponer la función para eso identificamos el dominio, el dominio para una función racional, será todos exepto los puntos donde el denominador  se hace cero, puesto que eso existe, entonces queda claro que

$x-3\neq0\\x\neq3$

entonces el dominio será    $D_{f}:\forall x/x\in\Re-\{3\}$, listo ahora obtengamos el recorrido, como ya tenemos esa igualdad que acabé de poner, podemos aprovecharnos de eso, y despejar equis en función de ye, entonces

$y=\displaystyle-1-\frac{2}{x-3}\\y+1=-\frac{2}{x-3}\\(y+1)(x-3)=-2\\x-3=-\frac{2}{y+1}\\x=-\frac{2}{y+1}+3$

de igual manera, consideramos los puntos donde ye exista, y por lo ves son todos lo reales, expeto donde el denominaor se haga cero, es decir

$y+1\neq0\\y\neq-1$

entonces el recorrido será,  $R_{f}:\forall y/y\in\Re-\{-1\}$, bien, entonces armemos ahora sí la función,

$\displaystyle f:\Re-\{3\}\longrightarrow\Re-\{-1\}\\.\hspace{9mm}x\hspace{5mm}\longrightarrow f(x)=\frac{-x+1}{x-3}$

aquí si, ya tenemos definida nuestra función, ahora si vamos a proceder a demostrar la inyectividad, usando la división que encontramos, entonces, supongamos que,

$\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\\-1-\frac{-2}{x_{1}-3}=-1-\frac{-2}{x_{2}-3}\\-\frac{-2}{x_{1}-3}=-\frac{-2}{x_{2}-3}\\\frac{-2}{x_{1}-3}=\frac{-2}{x_{2}-3}\\\frac{1}{x_{1}-3}=\frac{1}{x_{2}-3}\\x_{2}-3=x_{1}-3\\x_{2}=x_{1}$

y efectivamente eso es lo que queríamos demostrar¡..por lo tanto f si es inyectiva....ahora vamos a probar que e ssobreyectiva

para eso puedes auxiliarte en la definición, es decir,

 $\forall y/y\in Rec(f),\existsx/x\in Dom(f),\hspace{5mm}tq.\hspace{2mm}f(x)=y$

el recorrido y el dmonio ya los obtuvimos, pero en cristiano, ésto nos indica que, supongamos que hay dos salones de clase, entonces, para toda chica del salon B, debe existir algún(a) amiga en el salon de A, eso quiere decir que ninguna chica del salón B puede quedarse solita...no importa que dos chicas de A sean amigas de alguna de B...pero siempre toda chica de B se le debe asignar una amiga en A...listo,, ahora si te das cuenta siempre existe un punto en ye para algún equis...entonces decimos que la función efectivamente es sobreyectiva...por lo tanto,

Sabemos que inyectiva y también sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva y por lo tanto f tiene inversa...como hallarla?...

muy fácil, si te acuerdas cuando despejamos equis en función de ye, para hallar el dominio??...vamos  a usar esa expresión, 

$\displaystyle x=-\frac{2}{y+1}+3$

y lo único que hacemos es, intercambiar la letra equis, por la letra ye, y visceversa, entonces

 $\displaystyle y=-\frac{2}{x+1}+3$

y listo ésta es la función inversa, y para definir la función inversa, lo únic que hacemos es intercambiar el dominio, ahora pasa a ser recorrido y el recorrido pasa a ser dominio, entonces

 $\displaystyle f^{-1}:\Re-\{-1\}\longrightarrow\Re-\{3\}\\.\hspace{9mm}x\hspace{5mm}\longrightarrow f(x)=-\frac{2}{x+1}+3$

y eso sería todo¡