Question

$AYUDENME
Halla a para que al dividir x3 +2x2 +ax+3 entre x+1 el resto sea 9.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:DEFINICIONES

Definici´on 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda

expresi´on del tipo

p(x) = ∑∞

i=0

aix

i = a0 + a1x + a2x

2 + · · · + anx

n + · · · ; ai

, x ∈ K; n ∈ N ∪ {0}

donde todos los coeficientes ai son nulos, excepto una cantidad finita de ellos.

Notaci´on 1.1.1. Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x con coeficientes en K lo denotamos K[x].

Definici´on 1.1.2. Sea

p(x) = ∑∞

i=0

aix

i ∈ K[x],

definimos el grado de p(x), denotado ∂(p(x)), como aquel m ∈ N ∪ {0} tal que am es el

´ultimo coeficiente no nulo.

Ejemplo 1.1.1.

1. Si p(x) = 2 + 3x − 5x

2

entonces ∂(p(x)) = 2.

2. Si p(x) = 2x entonces ∂(p(x)) = 1.

3. Si p(x) = 5 entonces ∂(p(x)) = 0.

4. El polinomio nulo no tiene grado.

Observaci´on 1.1.1.

1. Podemos escribir los polinomios en orden decreciente.

2. Para simplificar la notaci´on podemos escribir ∂(p) en lugar de ∂(p(x)).

1

2 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

1.2. SUMA Y MULTIPLICACION DE POLINOMIOS ´

Definici´on 1.2.1. Sean

p(x) = ∑∞

i=0

aix

i

, q(x) = ∑∞

i=0

bix

i ∈ K[x],

decimos que p(x) = q(x) si y s´olo si son id´enticos, es decir, p(x) = q(x) ⇔ ai = bi

, ∀ i.

Ejemplo 1.2.1. Sean p(x) = (a−b)x

4 + (c−1)x

3 + (d+c)x y q(x) = 7x

3 + (2d+b)x

2 −2x

dos polinomios definidos en los reales, determine a, b, c, d ∈ R para que p(x) = q(x).

Soluci´on. Se debe cumplir







a − b = 0

c − 1 = 7

d + c = −2

2d + b = 0

es decir, para a = 20, b = 20, c = 8, d = −10.

Definici´on 1.2.2. Sean

p(x) = ∑∞

i=0

aix

i

, q(x) = ∑∞

i=0

bix

i ∈ K[x],

entonces

1. p(x) + q(x) = d(x) = ∑∞

i=0

cix

i

tal que ci = ai + bi

, ∀ i.

2. p(x) · q(x) = e(x) = ∑∞

i=0

dix

i

tal que di =

∑

i

k=0

akbi−k.

Observaci´on 1.2.1. Se puede demostrar que

a) ∂(p + q) ≤ m´ax {∂(p), ∂(q)} si ∂(p + q) existe.

b) ∂(p · q) = ∂(p) + ∂(q).

Ejemplo 1.2.2. Sean p(x) = 4x

3 − 2x

2 + 3x, q(x) = 2x

2 + 5x − 2 ∈ R[x]. Si p(x)· q(x) =

r(x) = ∑∞

i=0 dix

i

, determine d2