Question

Ayudenme con una integral por favor:(

$integral \: dx \div x \sqrt{100 + 4x {}^{2} }$
AYUDAAAAAA POR FAVOR.

Answer 1

$\displaystyle I=\int \dfrac{dx}{x\sqrt{100+4x^2}}=\int \dfrac{(4x)\,dx}{4x^2\sqrt{100+4x^2}}\\[4pt]\text{arriba se ha multiplicado a numerador y denominador por }4x \\[4pt]100+4x^2=u^2 \ \Rightarrow \ 4x^2=u^2-100 \ \Rightarrow \ 4x\,dx=u\,du \\[4pt]\Rightarrow \ \displaystyle I=\int \dfrac{u\,du}{(u^2-100)u}=\int \dfrac{du}{u^2-100}=\int \dfrac{du}{(u+10)(u-10)}$

$\text{Se puede aplicar fracciones parciales , pero lo voy hacer con unos artificios} \\[4pt]\dfrac{1}{(u+10)(u-10)}=\dfrac{1}{20}\cdot \dfrac{(u+10)-(u-10)}{(u+10)(u-10)} \\[4pt]= \dfrac{1}{20}\left(\dfrac{u+10}{(u+10)(u-10)}-\dfrac{u-10}{(u+10)(u-10)} \right) \\[4pt]\displaystyle I=\int \dfrac{1}{20} \left( \dfrac{1}{u-10}-\dfrac{1}{u+10}\right)du=\dfrac{1}{20}\left( \int \dfrac{du}{u-10}-\int \dfrac{du}{u+10}\right) \\[4pt]\displaystyle I=\dfrac{1}{20}\ln|u-10|-\dfrac{1}{20}\ln|u+10|+C \\[4pt]\displaystyle I=\dfrac{1}{20}\ln|\sqrt{100+4x^2}-10|-\dfrac{1}{20}\ln|\sqrt{100+4x^2}+10|+C$