Question

Ayudenme con esta ecuacion irracional por favor

Answer 1

Hola, aqui va la respuesta:

$\sqrt{x - 4 \: } + \sqrt{x + 4} - 2 \times \sqrt{x - 1} = 0$

Una ecuación irracional es una ecuación en la que aparecen raices que contienen la incognita en su radicando.

Resolver este tipo de ecuaciónes es quitar esas raices en donde tengamos la variable, para eso podemos usar el cuadrado de un binomio:

$(a + b {)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2}$

Lo que podemos hacer es sumar -2√x-1 en ambos miembros para que se cancelen y quede esa expresion del lado derecho de la ecuación, osea:

$\sqrt{x - 4} + \sqrt{x + 4} - 2 \sqrt{x - 1} + 2 \sqrt{x - 1} = 0 + 2 \sqrt{x - 1}$

Se pueden cancelar 2√x-1 ya que su operación nos dara 0

$\sqrt{x - 4} + \sqrt{x + 4} = 2 \sqrt{x - 1}$

Ahora elevamos ambos miembros al cuadrado con la finalidad de reducir las raices

$( \sqrt{x - 4} + \sqrt{x + 4} {)}^{2} = (2 \sqrt{x - 1 } {)}^{2}$

En el primer miembro tenemos un cuadrado de un binomio, lo resolvemos como tal

$( \sqrt{x - 4 } \: {)}^{2} + 2 \times \sqrt{x - 4} \times \sqrt{x + 4} + (\sqrt{x + 4} {)}^{2} = 4 \times (x - 1)$

Se reducen las raices, nos queda que :

$x - 4 \: + 2 \sqrt{ {x}^{2} - 16 } + x + 4 = 4x - 4$

$2x + 2 \sqrt{ {x}^{2} - 16 } = 4x - 4$

Restamos 2x en ambos miembros:

$2x + 2 \sqrt{ {x}^{2} - 16 } - 2x = 4x - 4 - 2x$

$2 \sqrt{ {x}^{2} - 16} = 2x - 4$

Ahora me quiero deshacer de esa raiz, por lo tanto vuelvo a elevar al cuadrado ambos miembros

$(2 \sqrt{ {x}^{2} - 16} {)}^{2} = (2x - 4 {)}^{2}$

$4 \times ( {x}^{2} - 16) = (2x {)}^{2} - 2 \times 2x \times4 + {4}^{2}$

${4x}^{2} - 64 = 4 {x}^{2} - 16x + 16$

Restemos en ambos miembros -4x^2, si hacemos eso veras que nos quedará cero, por lo tanto puedo cancelarlos, nos quedará:

$- 64 = - 16x + 16$

Restamos 16 en ambos miembros:

$- 64 - 16 = - 16x + 16 - 16$

$- 80 = - 16x$

Dividimos ambos miembros por -16

$\frac{ - 80}{ - 16} = \frac{ - 16}{ - 16} x$

$x = 5$

Realicemos la comprobación reemplazando el valor de la variable en la ecuación original:

$\sqrt{x - 4} + \sqrt{x + 4} - 2 \sqrt{x - 1} = 0$

$\sqrt{5 - 4} + \sqrt{5 + 4} - 2 \sqrt{5 - 1} = 0$

$\sqrt{1} + \sqrt{9} - 2 \sqrt{4} = 0$

$1 + 3 - 2 \times 2 = 0$

$4 - 4 = 0$

$0 = 0$

Como veras se esta cumpliendo la igualdad, por lo tanto podemos afirmar que

5 es un valor correcto para x

Saludoss