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Explicación paso a paso:
Los números racionales son todos los números que pueden representarse como el cociente de dos números enteros o, más exactamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fracción común con numerador y denominador distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo.
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien semiperiódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal); también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera) es un número racional.
Un número real que no es racional se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica.2
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre Z {\displaystyle \mathbb {Z} } \mathbb{Z}.
Los egipcios calculaban la resolución de problemas prácticos utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; son los primeros números racionales utilizados para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de recíproco de un número entero.3
Los matemáticos de la antigua Grecia consideraban que dos magnitudes eran conmensurables si era posible encontrar una tercera tal que las dos primeras fueran múltiplos de la última, es decir, era posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tuvieran una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables, luego números racionales.4
Etimológicamente, el hecho de que estos números se llamen racionales corresponde a que son la razón de dos números enteros, palabra cuya raíz proviene del latín ratio,56 y esta a su vez del griego λόγος (razón), que es como llamaban los matemáticos de la antigua Grecia a estos números.7 La notación Q {\displaystyle \mathbb {Q} } \mathbb{Q} empleada para nombrar el conjunto de los números racionales proviene de la palabra italiana quoziente, derivada del trabajo de Giuseppe Peano en 1895.
Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Utilizando la representación decimal, todo número racional puede expresarse como un número decimal finito (exacto) o periódico y viceversa. De esta manera, el valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador.
Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:
Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal»
Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente.
Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite.
De la misma manera se aplica la representación de un número racional en un sistema de numeración posicional en bases distintas de diez.
Número racional en otras bases
En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base no tienen representación finita