Question

Ayúdenme a resolver este ejercicio de números complejos, por favor: $\sqrt[4]{\frac{-4}{1-\sqrt{3}i } }$
No es necesario las 4 respuestas posibles, con saber cómo saco la primera respuesta es suficiente, gracias.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

primero divide los dos complejos del cantidad subradical

sea  z1 = a+bi  ; z2 = c+di

z1/z2 = $\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2} } + \frac{bc - ad}{c^{2} +d^{2} } i$

Para tu caso

z1  = -4+0i

z2 = 1 - $\sqrt{3}$i

z1/z2 = $\frac{-4.1+0.raiz3}{1^{2}+(\sqrt{3} )^{2} } + \frac{0.1c - (-4)(-\sqrt{3} }{1^{2} +(\sqrt{3} )^{2} } i$

z1/z2 = -1 - $\sqrt{3} i$

$\sqrt[4]{-1 - \sqrt{3}i }$

se aplica la fórmula

∜r(cos θ+ i sen θ) = $\sqrt[n]{r}$ [ cos(θ+2kπ)/n + i cos(θ+2kπ)/n]

Z = -1 - $\sqrt{3} i$ esta en la forma cartesiana Z = a + bi

se debe pasar a la forma polar Z = r(cos θ + i sen θ )

r = $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$  (módulo)

r = $\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3} )^{2} } = 2$

tg θ = b/a => θ argumento

tg θ = $\frac{-\sqrt{3} }{-1}$ = $\sqrt{3}$  =>  θ = 60°

Z = 2( cos 60° + i sen 60°)

El argumento de las raíces es (θ+2kπ)/n

k = 0,1,2,3   ;   n=4  => (60°+2kπ)/4

para k=0 => (60°+2kπ)/4 = 60°/4 = 15°

raíz 1 = Z1 = $\sqrt[4]{2}$( cos 15 + i sen 15°)

para k=1 => (60°+2π)/4 = 360°/4 = 90°

raíz 2 = Z2 = $\sqrt[4]{2}$( cos 90° + i sen 90°) =  

para k=2 => (60°+4π)/4 = 780°/4 = 195°

raíz 3 = Z3 = $\sqrt[4]{2}$( cos 195° + i sen 195°)

para k=3 => (60°+6π)/4 = 1140°/4 = 285°

raíz 4 = Z4 = $\sqrt[4]{2}$( cos 285° + i sen 285°)