Question

Ayudenme a resolver esta identidad trigonometrica

1                  1-SenX

________ = _________

1 + senX        cos2 X

Answer 1

Para empezar, tenes que tener en claro la siguiente identidad trigonométrica: Cos(2x) = 1 - 2 Sen²(x)

Ahora si, vayamos a la ecuación:

sen (x) = cos (2x) 

Aca usamos la identidad trigonométrica y reemplazamos:

sen(x) = 1 - 2 sen²(x)

Ahora vamos a tomar como si [Sen(x)] fuera nuestra incognita, y si lo vemos bien tiene la pinta de una cuadrática, fijate, pasamos todo al lado derecho:

0 = 1 - 2 sen²(x) - sen(x)

Lo acomodamos mejor asi te das cuenta mejor de la forma de la cuadrática:

0 = - 2 sen²(x) - sen(x) + 1

Buscamos el a,(cantidad de sen²(x) ), b (cantidad de sen(x) ) y c (el término independiente, que es solo un numerito) de las cuadráticas en este caso:
a= -2
b= -1
c= 1

Resolvemos la cuadrática (acordándonos que los resultados que nos den seran en vez de X1, X1 ---> Sen(x)1 y Sen(x)2

Sen(x)1,2= [ -b +- RAIZ D ( -4 . a . c ) ] / 2. a
Sen(x)1,2= [ -(-1) +- RAIZ DE (-4.-2.1) ] / 2. (-2)
Sen(x)1,2= [ 1 +- RAIZ DE (8) ] / (-4)

De aca sacamos 2 soluciones:

1era Solucion: (usando solo el + antes de la RAIZ)
Sen(x)1= [ 1 + RAIZ DE (8) ] / (-4)
Sen(x)1= 4 / (-4)
Sen(x)1= -1

Para despejar esto en la calculadora tenes que hacer lo siguiente:
Apretá SHIFT, despues apreta SIN, y después copia el número -1, y apretá el signo =.
Haciendo esta cuenta obtenemos el valor de X, o sea del ángulo que estamos buscando, que da:
X1= -90 = 270°!!

2nda Solucion: (usando solo el - antes de la RAIZ)
Sen(x)2= [ 1 - RAIZ DE (8) ] / (-4)
Sen(x)2= -2 / (-4)
Sen(x)2= 0,5

Para despejar esto en la calculadora tenes que hacer lo siguiente:
Apretá SHIFT, despues apreta SIN, y después copia el número 0,5 , y apretá el signo =.
Haciendo esta cuenta obtenemos el valor de X, o sea del ángulo que estamos buscando, que da:
X2= 30° !!

Entonces hay 2 soluciones para tu ecuación, que son:

X1= 270°
x2= 30°

Si querés lo podés comprobar:

Reemplazando x1= 270°
Sen(270°) = Cos (2 . 270°)
-1 = Cos (540°)
-1 = -1

Reemplazando x2 = 30°
Sen(30°) = Cos (2 . 30°)
0,5 = Cos ( 60° )
0,5 = 0,5