ayúdenme a resolver esa sucesión por favor
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Respuesta:
210
Explicación paso a paso:
Para hallar el término o elemento de una posición buscada existe la fórmula de la sucesión cuadrática:
En algunas sucesiones, cuando se calculan las diferencias entre los términos, ésta no es una constante, pero si volvemos a calcular las diferencias de esas primeras diferencias se obtiene un mismo resultado. Cuando esto sucede, se dice que la sucesión es de 2° grado o cuadrática y su fórmula tiene la forma:
aₙ = an² + bn + c a ≠ 0
En nuestra serie:
0, 2, 6, 12, 20, 30, ....
Si calculamos las primeras diferencias sin considerar al cero, obtenemos:
6 - 2 = 4; 12 - 6 = 6; 20 - 12 = 8; 30 - 20 = 10, sus diferencias no son constantes, es decir no se repite la misma cantidad en todas sus diferencias, entonces este sería el primer nivel.
Para el segundo nivel volvemos hacer las diferencias ahora del primer nivel: 4 , 6, 8, 10 obteniendo:
6 - 4 = 2; 8 - 6 = 2; 10 - 8 = 2. Ahora sí hay una constante que es 2. Por lo tanto la sucesión es cuadrática.
Para encontrar su fórmula utilizamos el siguiente procedimiento
(descartamos el cero y tenemos:)
2, 6, 12, 20, 30, ...
+4 +6 +8 +10 (Primer nivel de diferencias)
+2 +2 +2 (Segundo nivel de diferencias)
Ahora, utilizamos la expresión 2a para calcular el valor de a, esta expresión se iguala al valor obtenido para el 1er, término del segundo nivel de diferencias.
2a = 2 ........resolvemos la ecuación
a = 2/2
a = 1
Luego, utilizamos la expresión 3a + b para calcular el valor de b y sustituimos el valor obtenido para a.
Esta expresión se iguala con el 1er término del primer nivel de diferencias.
3a + b =4 .......sustituimos a=1
(3)(1) + b = 4 .......multiplicamos
3 + b = 4 ..........despejamos b
b = 4 - 3
b = 1
Siguiente paso: utilizamos la expresión a + b+ c para calcular el valor de c y sustituimos los valores obtenidos para a y b.
Esta expresión se iguala con el 1er, término de la sucesión:
a + b + c = 2 ...sustituimos a = 1 ; b = 1 y despejamos c:
1 + 1 + c = 2
2 + c = 2
c = 2 – 2
c = 0
Sustituimos los valores encontrados para a, b y c en la fórmula.
aₙ = n² + n .........esta es la fórmula para la sucesión.
Comprobamos la fórmula para los dos primeros términos.
a₁ = 1² + 1
a₁ = 1 + 1
a₁ = 2
a₂ = 2² + 2
a₂ = 4 + 2
a₂ = 6
Entonces, para la pregunta del problema: El elemento que ocupa la posición 15 será:
1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15°
0, 2, 6, 12, 20, 30, a₆, a₇, a₈, a₉, a₁₀, a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₄
a₁₄ = 14² +14
a₁₄ = 196 + 14
a₁₄ = 210
Que tengan muchos éxitos