Question

ayuden

calcule la regla de correspondencia de g , siendo g una función derivable y positiva en R cuya grafica pasa por el punto (0,3) y ademas cumple con la sgte condición :

$( g^{2} (x) )^{2} = \int\limits^x_ \frac{ \pi }{9} {g(t)sen(t)} \, dt$

Answer 1

considerando que 

(g(x))²  y no  (g²(x))²

$( g (x) )^{2} = \int\limits^x_ \frac{ \pi }{9} {g(t)sen(t)} \, dt$


recordar 

Primer teorema fundamental del calculo .

$\frac{d}{dx} \int\limits^x_a {f(t)} \, dt =f(x)$

del problema 

observa :
 
como  no tenemos la función g(x) y no sabemos cual es su regla de correspondencia entonces no podemos integrar 

derivemos en ambas partes  con respecto a "x" 

$\frac{d}{dx} ( g (x) )^{2} = \frac{d}{dx} \int\limits^x_ \frac{ \pi }{9} {g(t)sen(t)} \, dt \\ \\ 2g(x). \frac{d(g(x))}{dx} =g(x).senx \\ \\ 2. \frac{d(g(x))}{dx} =senx \\ \\ d(g(x))= \frac{dx .senx}{2}$

tomando la integral


∫$d(g(x))=∫\frac{dx .senx}{2}$


$g(x)= \frac{1}{2} .(-cosx) + C$  ....(1)

ahora

por dato  pasa por el punto (0,3) remplazando en la ecuación :

hallando la constante :

$g(x)= \frac{1}{2} .(-cosx) + C \\ \\ 3= \frac{1}{2} .(-cos 0) + C \\ \\ 3=- \frac{1}{2}+C \\ \\C= \frac{7}{2}$

ahora que ya hallamos C remplazamos en la ecuación (1)


$g(x)= \frac{1}{2} .(-cosx) + C \\ \\ g(x)= - \frac{1}{2} cosx + \frac{7}{2}$

  $\boxed{ \boxed{ g(x)= - \frac{1}{2} cosx + \frac{7}{2} }} \quad\checkmark \quad\checkmark$



saludos Isabela