Question

ayúdame por favor es el tema de área de regiones triangulares.Dos lados de un triángulo miden 4,5 m y 20 m, si el área de su region es máxima .Calcule su perímetro.​

Answer 1

Respuesta:

P = 45 m

Explicación paso a paso:

Sea θ el ángulo entre esos dos lados. Si suponemos que la base del triángulo es el de 20 m, la altura será igual a:

$h = 4.5 \times \sin(θ)$

Por tanto el área será igual a:

$A(θ) = \frac{20 \times 4.5 \times \sin(θ)}{2} \\ A(θ) = 45 \times \sin(θ)$

Para encontrar el máximo del área derivamos e igualamos a cero:

$A'(θ) = 45 \times \cos(θ) = 0 \\ \Rightarrow \cos(θ) = 0 \\ \Rightarrowθ = \frac{\pi}{2}$

Como puedes ver la longitud de los lados es indiferente. Si nos dan dos lados el área máxima se corresponderá con un triángulo rectángulo donde dichos lados son los catetos.

Tenemos entonces un triángulo rectángulo cuyos catetos son de 4,5 m y de 20 m. La hipotenusa será:

$hipotenusa = \sqrt{ { (\frac{9}{2}) }^{2} + {20}^{2} } \\ hipotenusa = \sqrt{ \frac{81}{4} + 400 } \\ hipotenusa = \sqrt{ \frac{1681}{4} } \\ hipotenusa = \frac{41}{2}$

Perimetro del triangulo

$P= \frac{9}{2} \: m + 20 \: m + \frac{41}{2} \: m \\ P = \frac{9 \: m + 40 \: m + 41 \: m}{2} \\ P= \frac{90 \: m}{2} \\ P = 45 \: m$