Matemáticas, pregunta formulada por lucre29072005, hace 1 año

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Contestado por Mainh
4

¡Buenas!

Tema: Factorización

\textbf{Problema 18 :}

Determine la suma de los factores primos del polinomio:

R_{(a,\ b,\ c)} = a(b-c)^{2} + b(c-a)^{2} + c(a-b)^{2} + 9abc

RESOLUCIÓN

Desarrollemos el binomio al cuadrado.

R_{(a,\ b,\ c)} = a(b-c)^{2} + b(c-a)^{2} + c(a-b)^{2} + 9abc \\ \\ R_{(a,\ b,\ c)} = a(b^{2}+c^{2}-2bc) + b(a^{2}+c^{2}-2ac) + c(a^{2}+b^{2} -2ab) +9abc

Aplicamos la propiedad distributiva.

R_{(a,\ b,\ c)} = ab^{2}+ac^{2} - 2abc + ba^{2}+bc^{2} -2abc + ca^{2}+cb^{2} - 2abc +9abc

R_{(a,\ b,\ c)} = ab^{2}+ac^{2} + ba^{2}+bc^{2} + ca^{2}+cb^{2} +3abc

Reescribimos el polinomio R_{(a,\ b,\ c)} de esta forma:

R_{(a,\ b,\ c)} = ab^{2}+ ba^{2} + abc + bc^{2} + cb^{2} + abc + ca^{2} + ac^{2} + abc

Factorizamos de la siguiente forma:

R_{(a,\ b,\ c)} = ab(a+b+c) + bc(a+b+c) + ca(a+b+c)

Factorizamos a+b+c

R_{(a,\ b,\ c)} = ab(a+b+c) + bc(c+b+a) + ca(a+c+b) \\ \\ R_{(a,\ b,\ c)} = (a+b+c)(ab+bc+ca)

De esta manera el polinomio R_{(a,\ b,\ c)} queda factorizado en sus factores primos, siendo la suma de sus factores primos:

a+b+c+ab+bc+ca

RESPUESTA

\boxed{a(b+1) + b(c+1) +c(a+1)}


\textbf{Problema 19 :}

Factorizar el polinomio P_{(x)} = x^{5} - x^{4} + 2x^{2} - 2x + 1 e indique la suma de coeficientes de los términos lineales de sus factores primos.

RESOLUCIÓN

Escribimos el polinomio de la siguiente forma:

P_{(x)} = x^{5} - x^{4} + 2x^{2} - 2x + 1 \\ \\ P_{(x)} = x^{5} - x^{4} + x^{2} + x^{2} - 2x + 1

Notemos el trinomio cuadrado perfecto.

P_{(x)} = x^{5} - x^{4} + x^{2} + (x-1)^{2}

Reescribimos el polinomio P_{(x)} de esta forma:

P_{(x)} = x^{5} + x^{2} + (x-1)^{2} - x^{4} \\ \\ P_{(x)} = x^{5} + x^{2} + (x-1)^{2} - (x^{2})^{2}

Notemos además la diferencia de cuadrados y factorizemos.

P_{(x)} = x^{5} + x^{2} + (x-1)^{2} - (x^{2})^{2} \\ \\ P_{(x)} = x^{2}(x^{3}+1) + (x-1+x^{2})(x-1-x^{2})

Expandimos la suma de cubos x^{3}+1

P_{(x)} = x^{2}(x^{3}+1) + (x-1+x^{2})(x-1-x^{2}) \\ \\ P_{(x)} = x^{2}(x+1)(x^{2}-x+1) - (x^{2}+x-1)(x^{2}-x+1)

Factorizamos el factor común x^{2}-x+1

P_{(x)} = x^{2}(x+1)(x^{2}-x+1) - (x^{2}+x-1)(x^{2}-x+1) \\ \\ P_{(x)} = (x^{2}-x+1)(x^{2}(x+1)-(x^{2}+x-1)) \\ \\ P_{(x)} = (x^{2}-x+1)(x^{3} +x^{2} - x^{2} - x +1)

P_{(x)} = (x^{2}-x+1)(x^{3} - x +1)

De esta manera queda factorizado el polinomio P_{(x)} siendo el coeficiente de los términos lineales los siguientes:

P_{(x)} = (x^{2} \boldsymbol{-1}x+1)(x^{3} \boldsymbol{-1}x +1)

Siendo la suma: \boldsymbol{-1} + \boldsymbol{-1} = \boldsymbol{-2}

RESPUESTA

\boxed{\textrm{La suma de coeficientes de los t\'erminos lineales es:}\ \boldsymbol{-2}}


\textbf{Problema 20 :}

Factorize el siguiente polinomio P_{(x)} = x^{5} + x(x+1)^{4} + (x+1)^{5} y señale el número de factores primos.

RESOLUCIÓN

Hagamos el cambio de variable correspondiente a = x y b = x+1 quedando el polinomio de esta forma P_{(x)} = a^{5} + a(b^{4}) + b^{5}.

Notemos que sus términos se encuentran en el resultado de un cociente notable de la forma \dfrac{a^{6}-b^{6}}{a-b}

\dfrac{a^{6}-b^{6}}{a-b} = a^{5} +a^{4}b + a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3} + ab^{4} + b^{5}

\dfrac{a^{6}-b^{6}}{a-b} - (a^{4}b + a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3}) = a^{5} + ab^{4} + b^{5} = P_{(x)}

Restamos y sumamos el término \boldsymbol{a^{3}b^{2}} con el fin de no alterar el polinomio y luego factorizamos por aspa simple el polinomio a^{4}b + 2a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3}

P_{(x)} = \dfrac{a^{6}-b^{6}}{a-b} - (a^{4}b + 2a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3}) + a^{3}b^{2}

P_{(x)} = \dfrac{a^{6}-b^{6}}{a-b} - (a^{2}b+ab^{2})(a^{2}+ab) + a^{3}b^{2}

Seguimos factorizando el polinomio y aplicamos una diferencia de cuadrados

P_{(x)} = \dfrac{(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{a-b} - a^{2}b(a+b)^{2} + a^{3}b^{2}

P_{(x)} = \dfrac{(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{a-b} - a^{2}b((a+b)^{2}-ab)

P_{(x)} = \dfrac{(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{a-b} - a^{2}b(a^{2}+ab+b^{2})

Aplicamos la diferencia de cubos.

P_{(x)} = \dfrac{(a^{3}+b^{3})(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a-b} - a^{2}b(a^{2}+ab+b^{2}) \\ \\ P_{(x)} = (a^{3}+b^{3})(a^{2}+ab+b^{2}) - a^{2}b(a^{2}+ab+b^{2})

Factorizamos el término común a^{2}+ab+b^{2}

P_{(x)} = (a^{3}+b^{3})(a^{2}+ab+b^{2}) - a^{2}b(a^{2}+ab+b^{2}) \\ \\ P_{(x)} = (a^{2}+ab+b^{2})(a^{3}+b^{3}-a^{2}b)

P_{(x)} = (x^{2}+x(x+1)+(x+1)^{2})(x^{3}+(x+1)^{3}-x^{2}(x+1)) \\ \\ P_{(x)} = (3x^{2} + 3x + 1)(x^{3}+2x^{2}+3x+1)

De esta manera queda factorizado el polinomio P_{(x)} siendo el número de factores primos \boldsymbol{2}.

RESPUESTA

\boxed{\textrm{El n\'umero de factores primos es:}\ \boldsymbol{2}}


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