Question

ayudame a resolver
el siguiente problema que dice
los extremos del diametro de una circunferencia son los puntos a(-2,1) y b(6,5) asi entonces encuentra la ecuacion de dicha circunferencia.

y otro mas porfavor ayudame a resolver.

encuentra el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacion es x^2+y^2+6X-4Y+5=0

Answer 1

Segundo punto.

 X² + Y² + 6X - 4Y + 5 = 0

Debo completar cuadrados para X y Y:

Para X:

X² + 6X (Ya tengo el primer termino al cuadrado y el segundo es el doble producto del primero por el segundo termino)

6X = 2(X)(Segundo termino)

Segundo Termino = 6X/2X = 3

X² + 6X + 3² - 3² (Lo que sumo lo debo restar para que se mantenga la igualdad)

X² + 6X + 9 - 9

X² + 6X + 9 = (X + 3)²

(X + 3)² - 9

Ahora para Y:

Y² - 4Y:

4Y = 2(Y)(Segundo Termino)

Segundo Termino = 4Y/2Y = 2

Y² - 4Y + 2² - 2²

(Y² - 4Y + 4) - 4

Y² - 4Y + 4 = (Y - 2)²

(Y - 2)² - 4

Reescribo:

(X + 3)² - 9 + (Y - 2)² - 4 + 5 = 0

(X + 3)² + (Y - 2)² - 8 = 0

(X + 3)² + (Y - 2)² = 8

Ya la tengo de la forma:

(X - h)² + (Y - k)² = r²

Donde centro (h , k)

-h = 3; h = -3

k = -2; k = 2

Centro en (-3, 2)

Radio = √8 = 2√2 ≈ 2.8284

Primer punto

Primero debemos hallar el punto medio entre los puntos (-2,1) y (6,5), ya que en el punto medio se encontraria el centro.


Punto medio: (Xm , Ym)

Xm = (X1 + X2)/2


Ym = (Y1 + Y2)/2 

X1 = -2; X2 = 6; Y1 = 1; Y2 = 5


Xm = (-2 + 6)/2 = 4/2 = 2

Ym = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3

Punto medio (2,3)

Ahora el radio seria la distancia comprendida entre el punto medio y cualquiera de los puntos extremos.

Centro: (2,3) Extremo: (6 ,5)

Uso la ecuacion para hallar la distancia entre dos puntos:

$d= \sqrt{(X2 - X1)^{2} + (Y2 - Y1)^{2}}$

Para nuestro caso:

X1 = 2; Y1 = 3; X2 = 6; Y2 = 5

$d= \sqrt{(6 - 2)^{2} + (5 - 3)^{2}}$

$d= \sqrt{(4)^{2} + (2)^{2}}$

$d= \sqrt{16 + 4}$

d = √20

Radio = √20

Listo ya tendria el centro: (2,3) y el radio √20

Aplico la ecuacion canonica de la circunferencia.

(X - h)² + (Y - k)² = r²

(X - 2)² + (Y - 3)² = (√20)²

X² - 4X + 4 + Y² - 6Y + 9 = 20

X² + Y² - 4X - 6Y + 13 - 20 = 0

X² + Y² - 4X - 6Y - 7 = 0 (Ecuacion de la circunferencia)

Te anexo graficas.