Question

AYUDAAAAAA!!!
FUNCIONES
Sea: f: R⇒R/
f(x) = y = 13( $\frac{x}{16x^{2}+9}$ ) + 12( $\frac{1}{16x+9x^{-1}}$ )
Hallar un valor de m > 0 para f(x), tal que |f(x)| ≤ M ∀ x ∈ Dominiof
45 ptos a quien me responda de forma detallada y bien explicado

Answer 1

$f(x)=\dfrac{13x}{16x^2+9}+\dfrac{12}{16x+x^{-1}}\\ \\ \\ F(x)=\dfrac{13x}{16x^2+9}+\dfrac{12x}{16x^2+9}\\ \\ \\ F(x)=\dfrac{25x}{16x^2+9}\\ \\ \\ \text{Hallemos el valor donde F se hace m\'inimo, para ello encontremos los }\\ \text{puntos cr\'iticos}\\ \\ \dfrac{dF}{dx}=0\\ \\ \\ \dfrac{25(16x^2+9)-32x(25x)}{(16x^2+9)^2}=0\\ \\ \\ \dfrac{9-16x^2}{(16x^2+9)^2}=0\\ \\ \\ 9-16x^2=0\\ \\ \boxed{x=\pm\dfrac{3}{4}}$

$\text{Ahora comprobemos si tal punto es un extremo}\\ \\ \dfrac{d^2F}{dx^2}=\dfrac{32x(16x^2-27)}{(16x^2+9)^3}\\ \\ \\ F''(-3/4)=2/27\to x=-\dfrac{3}{4}\text{ es punto de m\'inimo}\\ \\ \\ F''(3/4)=-2/27\to x=\dfrac{3}{4}\text{ es punto de m\'aximo}\\ \\ \\ \text{Entonces }\\ \\ F_{min}=F(-3/4)=-25/24\\ \\ F_{max}=F(3/4)=25/24\\ \\ \\ \text{Es decir, \forall x\in \mathbb{R}\,,\, -\dfrac{25}{4}\leq F(x)\leq\dfrac{25}{24} \iff |F(x)|\leq \dfrac{25}{24} }$

$\textbf{Observaci\'on: }\text{las funciones f y F son equivalentes salvo cuando x=0 }$

Por ende $f(x)=F(x),\forall x\in Dom(f)$ , así M = 25/24