Question

AYUDAAAAA POR FAVOR
Demuestre que:

Answer 1

Por propiedad
$log_{10}(a) + \frac{ log_{10}(10) }{ log_{10}(a) } \geqslant 2$
$log_{10}(a) + \frac{1}{ log_{10}(a) } \geqslant 2$
Sea
$log_{10}(a) = x$
=》
$x \: + \frac{1}{x} \geqslant 2$
Para demostrar esto partimos de que la media aritmetica es mayor o igual a la media geometrica

$\frac{x + y}{2} \geqslant \sqrt{xy}$
Entonces
$\frac{x + \frac{1}{x} }{2} \geqslant \sqrt{x \times \frac{1}{x} }$
$\frac{x + \frac{1}{x} }{2} \geqslant \sqrt{1}$
$\frac{x + \frac{1}{x} }{2} \geqslant 1 \\ x + \frac{1}{x} \geqslant 2$
Demostrado

Answer 2

La demostración es la siguiente

$Log_1_0a+log_a10 \geq 2 \qquad aplicamos \ cambio \ de \ base \\ \\ \\ \dfrac{log _{10} a}{log _{10}10}+ \dfrac{log _{10}10}{log_ {10}a} \geq 2 \\ \\ \\ \dfrac{log _{10} a}{1}+ \dfrac{1}{log_ {10}a} \geq 2 \qquad \ buscamos \ comun \ denominador \\ \\ \\ \dfrac{log^2 _{10} a}{log _{10}a}+ \dfrac{1}{log_ {10}a} \geq 2 \\ \\ \\ log^2_{10}a+1 \geq 2log_{10}a \qquad igualamos\ a\ cero \\ \\ log^2_{10}a -2 log_{10}a +1 \geq 0 \\ \\ log _{10}a=x \quad entonces\to x^2-2x +1 \to (x-1)^2$

$(x-1)^2 \geq 0 \\ \\ x_1 \geq 1\qquad \qquad x_2 \geq 1 \\ \\ log_{10}a \geq 1 \quad \to a= 10^1 \quad a= 10\to \boxed{a \in \left(1; +\infty) }$

a pertenece a un intervalo de números positivos, como definición de logaritmo la base debe ser positiva lo que indica es que la ecuación es Verdadera 

$log_{10}a+log_{a}10 \geq 2\qquad \qquad a\ \textgreater \ 1\\ \\ ejemplos \\ \\ log_{10}2+log_{2}10 \geq 2\quad \to 0.30+3.32 \geq 2\qqyad\to 3.62\ \textgreater \ 2 \\ \\ log_{10}10+log_{10}10 \geq 2\quad \to 1+1 \geq 2\qqyad\to 2=2 \\ \\ log_{10}20+log_{20}10 \geq 2\quad \to 1,30+0,76 \geq 2\qqyad\to 2,06\ \textgreater \ 2\\ \\ log_{10}100+log_{100}10 \geq 2\quad \to 2+0,5\geq 2\qqyad\to 2,5\ \textgreater \ 2$


Espero que te sirva, salu2!!!!