Question

AYUDAAAAA POR FAVOR

6. El valor comercial de un auto se deprecia exponencialmente 15% por año. Si un vehículo nuevo tiene un valor de 250000, V es el valor del auto en pesos y T es el tiempo transcurrido en años encuentra lo siguiente:


a) ¿Cuál será el valor del carro después de un año de uso?;es decir, si T=1 año, cual es el valor de V?


b) ¿Cuál será el valor del carro después dos años de uso? ;es decir, si T=2 año, cual es el valor de V ?



c) ¿Cuál será el valor del carro después de tres años?


d) ¿Cuál será el valor V del carro después de T años?. Es decir, encuentra la función exponencial que exprese la variable V en términos de la variable T.



e) Encuentra el valor del carro después de 10 años de uso empleando la función exponencial encontrada en el inciso anterior.


f) ¿Después de cuantos años el valor del carro se reduce a la mitad de su precio?



g) ¿Después de cuantos años el valor del carro será de 100000 pesos?

Answer 1

Tarea:

El valor comercial de un auto se deprecia exponencialmente un 15% por año. Si un vehículo nuevo tiene un valor de 250000, V es el valor del auto en pesos y T es el tiempo transcurrido en años encuentra lo siguiente:

Respuesta:

• a) ¿Cuál será el valor del carro después de un año de uso? es decir, si T=1 año, cual es el valor de V?    212.500 pesos.

• b) ¿Cuál será el valor después dos años de uso? es decir, si T=2 años, ¿Cuál es el valor de V?    180.625 pesos.

• c) ¿Cuál será el valor después de tres años?   153531,25 pesos.

• d) ¿Cuál será el valor V  después de T años? Es decir, encuentra la función exponencial que exprese la variable V en términos de la variable T.    $V_T=V_1*r^{(T-1)}$

• e) Encuentra el valor después de 10 años de uso empleando la función exponencial del inciso anterior.  57.904,24 pesos

• f) ¿Después de cuantos años el valor del carro se reduce a la mitad de su precio?   5 años y 3 meses

• g) ¿Después de cuantos años el valor del carro será de 100.000 pesos? A los 6 años y 7,5 meses

Explicación paso a paso:

Hay que apoyarse en las progresiones geométricas decrecientes.

Lo que se nos plantea no es otra cosa que una progresión geométrica (PG) con los siguientes datos.

1.-  El primer término  a₁  de la PG es el valor inicial del auto: 250.000 es decir que para seguir usando las letras que nos da el ejercicio podemos poner esto:

a₁ = V = 250000

2.-  La razón "r" de la PG que es el número por el cual hay que multiplicar cada término para obtener el siguiente. En nuestro caso, la razón se calcula viendo qué porcentaje de disminución se aplica y será la diferencia entre el valor inicial que sería del porcentaje del 100% y el porcentaje final que viene a ser el resultado de restar  100% - 15% = 85%.  Eso significa que nuestra razón de PG será:   r = 0,85  (el cociente 85/100).

3.-  El nº de términos "n" de esa PG el cual es variable según el apartado que vayamos a solucionar:

Así que para el apartado "a", contaremos con dos términos: el primero que ya hemos escrito arriba y otro segundo término  a₂  que será el valor del auto una vez transcurrido el primer año.

Para el apartado "b" contaremos con tres términos.

La fórmula del término general de cualquier PG dice: $a_n=a_1*r^{(n-1)}$

⇒ Para el apartado a) y tenemos que

• $a_n$  será el valor del auto una vez transcurrido 1 año y que es lo que queremos saber y que llamo V₂
• $a_1$  será el valor inicial de compra V₁ = 250000
• $r$   será la razón ya deducida más arriba:  0,85
• $n$   será el número de años transcurridos  T = 1 año

Sustituyo letras y luego por sus valores...

$V_2=V_1*r^{(T-1)}=250000*0,85^{2-1} =250000*0,85=212.500$

Aquí queda la solución al apartado a) y es el precio del auto después de transcurrido un año que sería lo mismo que decir que es su valor al comenzar el segundo año.

⇒ Haremos lo mismo para el apartado b) teniendo en cuenta que ahora hemos de contar con que el tiempo transcurrido son dos años y pasa a ser el tercer término de la PG:

$a_n=a_3=V_3$

$n=3$

Aplico la fórmula:  $V_3=V_1*r^{(3-1)}=250000*0,85^{2} =250000*0,7225=180.625$

Y esta sería la solución al apartado b). Precio del auto después de transcurridos 2 años y haber entrado en el tercer año de antigüedad.

⇒ Exactamente las mismas operaciones para el apartado c)

$V_4=V_1*r^{(4-1)}=250000*0,85^{3} =250000*0,614125=153.531,25$

⇒ En el apartado d) la expresión general hará que dando cualquier valor a T, se obtenga el valor de V que tendrá el auto.

$V_T=V_1*r^{(T-1)}$

⇒ Para el apartado e) sólo hay que sustituir datos en la expresión anterior y aquí tendremos en cuenta que T=10

$V_{10}=250000*0,85^{(10-1)}=250000*0,85^9=\\ \\ =250000*0,231616946283203125=57.904,24$

Valor del auto transcurridos 10 años desde su compra.

⇒ Para el apartado f) calculamos la mitad del precio inicial que será:

250000 ÷ 2 = 125.000 pesos.

Para alcanzar este valor han de transcurrir "T" años, es decir que $V_T=125000$  así que planteamos sobre la fórmula anterior:

$125000=250000*0,85^{(T-1)}\\ \\ \\ \dfrac{125000}{250000} =\dfrac{0,85^T}{0,85} \\ \\ \\ 0,5*0,85=0,85^T\\ \\ 0,425=0,85^T\\ \\ T=5,26$

Deberían pasar 5,26 años. Convertidos los decimales a meses:

0,26 × 12 = 3,12 meses

El resultado sería 5 años y 3 meses.

El apartado g) es similar al anterior. Este lo dejo para que practiques.

Saludos.