AYUDAAAA
Trinomio de la forma ײ+b×tc
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Existen algunos trinomios que no son cuadrados perfectos y que también son factorizables, sólo que mediante un procedimiento diferente.
A continuación presentamos ejemplos de trinomios del tipo x2 + bx + c
x2 + 5x + 6
x2 – 11x + 24
x2 + x – 20
x2 – 6x - 27
Como puedes observar, estos trinomios constan de un término cuadrático, otro de primer grado y otro constante, llamado término independiente, por lo que son trinomios de una sola variable con coeficientes constantes.
El procedimiento de factorización para este caso lo describimos mediante ejemplos.
Ejemplo
Factorizar el trinomio x2 + 3x - 10
La expresión factorizada de este tipo de trinomios es un producto de dos binomios con un término común, el cual se obtiene al extraer la raíz cuadrada del término cuadrático raíz cuadrada de x cuadrada = x
Los segundos términos de ambos binomios son dos números cuyo producto resulta igual al término independiente y cuya suma es igual al coeficiente del término de primer grado, esto es:
(+5)(-2) = - 10
(+5)+ (-2) = +3
Por lo tanto, la factorización completa de trinomio en este caso resulta:
x2 + 3x – 10 = (x + 5)(x - 2)
Cabe aclarar que los dos números pueden pertenecer a cualquiera de los dos binomios. Es decir, también se puede escribir:
x2 + 3x – 10 = (x -2)(x + 5)
Ejemplo
Factorizar el siguiente trinomio.
x2 – 13x – 30 =
Buscamos el término común. Y calculamos los términos no comunes:
(-15)(+2) = -30
(-15)+(+2)= -13
Escribimos la factorización del trinomio.
x2 – 13x – 30 = (x - 15)(x + 2)
ó
x2 – 13x – 30 = (x + 2)(x - 15)
A continuación analizaremos algunos ejemplos de trinomios de la forma ax2 + bx + c
6x2 – 5x – 4
2x2 + 5x – 3
3x2 – x - 2
Como podrás observar, éstos no corresponden a trinomios cuadrados perfectos, y su diferencia con los trinomios vistos en el caso anterior es que los coeficientes del término cuadrático tienen un valor distinto de uno. Por tal motivo su método de factorización es diferente.
Ejemplo
Factorizar el trinomio 2x2 + 3x - 2
Multiplicamos el coeficiente del término de segundo grado por el término constante.
Así: (2)(-2) = -4
El producto obtenido lo descomponemos en factores de tal manera que la suma de éstos sea igual al coeficiente del término de primer grado.
Así:
(+4)(-1) = -4
(+4)+ (-1) = + 3
Sustituimos, en el trinomio dado, el coeficiente del término de primer grado por la suma de los factores y le aplicamos al propiedad distributiva.
Así: 2x2 + 3x – 2 = 2x2 + [(+4)+ (-1)x - 2]
Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de factorización por agrupación de términos, con el cual se concluye la factorización del trinomio.
= 2x2 + [(+4) + (-1)]x – 2
= 2x2 + 4x – x – 2
= (2x2 + 4x) – (x + 2)
Así: 2x2 + 3x – 2
= 2x(x + 2) – 1(x + 2)
= (x + 2)(2x - 1)
Ejemplo
Factorizar el trinomio 6x2 – 5x - 4
Multiplicamos el coeficiente del término del segundo grado por el término constante.
Así: (6)(-4) = -24
El producto obtenido lo descomponemos en factores, de tal manera que la suma de los factores sea igual al coeficiente del término de primer grado.
(-8)(+3) = -24
Así: (-8) + (+3) = -5
Sustituimos en el trinomio dado el coeficiente del término de primer grado por la suma de los factores y le aplicamos la propiedad distributiva.
Así: 6x2 – 5x – 4 = 6x2 + [(-8) + (+3)]x - 4
Al polinomio obtenido lo factorizamos aplicando el método de agrupación de términos, con lo cual se concluye la factorización del polinomio.
Así: 6x2 – 5x – 4
= 6x2 + [(-8) + (+3)]x – 4
= 6x2 – 8x + 3x – 4
= (6x2 – 8x) + (3x - 4)
= 2x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4)(2x + 1)
Para mejor entendimiento de cómo se factoriza un trinomio de la forma ax2 + bx + c daremos dos ejemplos más en los cuales no se mencionarán los pasos como en los ejemplos anteriores, pero es necesario observar que en cada ejercicio se efectúan dichos pasos.
Ejemplo. Factorizar el trinomio 6x2 + 7x + 2
(+6)(+2) = +12
(+4)(+3) = +12
(+4)+(+3)= +7
6x2 + 7x + 2 = 6x2 + [(+4)+(+3)]x + 2
= 6x2 + 4x + 3x + 2
= (6x2 + 4x) + (3x + 2)
= 2x (3x + 2) + 1(3x + 2)
= (3x + 2)(2x + 1)
Ejemplo. Factorizar el trinomio 5x2 + 13x – 6
(5)(-6) = -30
(+15)(-2) = - 30
(+15)+(-2)= +13
5x2 + 13x – 6 = 5x2 + [(+15)+(-2)]x – 6
= 5x2 + 15x – 2x – 6
= 5x(x + 3) – 2(x + 3)
= (x + 3)(5x - 2)
En los dos últimos ejemplos escribe en cada renglón los pasos que se realizaron para factorizar.
Ahora ya sabes factorizar los trinomios de las formas x2 + bx + c y ax2 + bx + c recuerda que su única diferencia es el coeficiente del término de segundo grado.
Es importante que, dado un trinomio a factorizar, identifiques qué forma tiene a fin de que puedas emplear el procedimiento adecuado.