Question

Ayudaaaa por favor es para hoy

Answer 1

Según lo que aparece en tu hoja, la vida media del carbono 14 es de 5700. Deduzcamos una fórmula para un caso ideal.

Supongamos que al inicio hay A₀ de C14 y la cantidad de carbono en cualquier instante sea A = A(t), donde t es el tiempo en años. Para este caso se suele usar la siguiente ecuación diferencial

(E1)                                                 $\dfrac{dA}{dt}=-kA$

donde -k < 0 es la constante de decaimiento. En efecto, el signo negativo nos indica que la cantidad de carbono va disminuyendo con el tiempo, y ese decaimiento es proporcional a la cantidad de carbono en ese instante. Como esta ecuación diferencial ordinaria es separable, es fácil deducir que esta es su solución

(E2)                                                 $A(t) = A_0 ~e^{-kt}$

Pero como dato tenemos que la vida media es 5700 años, esto quiere decir que en 5700 años hay la mitad de carbono 14 que hubo al principio en ese objeto, esto es

(E3)                                             $A(5700) = \dfrac{A_0}{2}$

Reemplazamos (E3) en (E2) y obtenemos

(E4)                                         $A(t)=A_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/5700}$

===================== Resolviendo la Actividad =================

Como datos tenemos

$A_0=0.016 ~gr$

tiempo = $\tau$ (incógnita)

$A(\tau)=0.001~gr$

Solución

Reemplazamos los datos en (E4)

                                  $A(\tau)=0.001=0.016 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\tau/5700}\\\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\tau/5700}=\dfrac{1}{16}\\\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\tau/5700}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}\\\\\\\dfrac{\tau}{5700}=4\\\\\boxed{\tau = 22~800\text{ a\~nos}}$