Question

AYUDAAAA El alcalde de la ciudad Maravilla ha decido hacer un parque como el que se ve en la imagen, en los círculos en blanco colocara distintos tipos de flores, en la parte verde césped y en la parte ploma una vereda. Si los círculos interiores son congruentes, además la medida de la longitud de la circunferencia mayor es de 24� m, ¿cuánto espacio será cubierto por el pasto? ¿cuánto medirá la superficie de la vereda? ¿Cuál es la relación entre el espacio destinado a las flores y el espacio cubierto por el césped?

Answer 1

AREAS DE CÍRCULOS Y CUADRADOS. Ejercicio.

Con ese único dato de la longitud de la circunferencia mayor = 24 m. se puede calcular todo.

Usando dicho dato, lo primero a calcular es el diámetro de esa circunferencia despejándolo de su fórmula.

Longitud circunferencia (L) = Diámetro (D) × π

D = L / π = 24 / π  metros es el diámetro de la circunferencia mayor.

Dejaremos el resultado en función de π

Conocido el diámetro, como tenemos tres circunferencias iguales y alineadas tanto en sentido horizontal como vertical, deduzco que los lados de la figura exterior son iguales por lo que tenemos un cuadrado que engloba a todo el parque.

Voy contestando preguntas.

¿Cuánto espacio cubrirá el pasto?

Para resolver esto hay que calcular el área de las 5 circunferencias blancas que recordemos que son congruentes, o sea, iguales, y por tanto sus diámetros y radios también.

Dividiendo el diámetro de la circunferencia mayor entre 3, obtengo el diámetro de una de esas circunferencias blancas.

D = 24/π ÷ 3 = 8/π  metros de diámetro de cada circ. blanca.

Me interesa conocer el radio para usarlo en la fórmula del área y dicho radio como ya sabemos, es la mitad del diámetro así que será  

Radio = 8/π ÷ 2 = 4/π  metros mide el radio de cada circ. blanca.

Aplico la fórmula del área del círculo:

$A=\pi \times r^2\ =\ \pi \times (\dfrac{4}{\pi}) ^2\ =\ \dfrac{\pi \times 16}{\pi ^2}=16\pi \ m^2$

Con esto he obtenido el área de uno de los círculos así que ahora corresponde saber el área total que ocupan entre las cinco circunferencias o sea que hay que multplicar por 5

Área ocupada por las 5 circ. = 16π × 5 = 80π  m²  (lo reservo para después)

Ahora calculo el área de la circunferencia mayor.

Había calculado su diámetro al principio del ejercicio que era de 24π metros así que su radio es la mitad = 12/π  metros.

Aplico de nuevo la fórmula del área del círculo:

$A=\pi \times r^2\ =\ \pi \times (\dfrac{12}{\pi}) ^2\ =\ \dfrac{\pi \times 144}{\pi ^2}=\dfrac{144}{\pi } \ m^2$

Es le área de la circunferencia mayor.

Restando esta área de la obtenida antes referida a lo que ocupan las 5 circunferencias, obtengo el área del pasto (la zona verde).

Zona de pasto = 144π - 80π = 64π  m²  (respuesta a la primera pregunta)

La vereda es la parte gris  (las esquinas del cuadrado) así que calcularé su área elevando el lado al cuadrado que recordemos que era el mismo que el diámetro de la circunferencia mayor.

Área de cuadrado = (24/π)² = 576/π²

Le resto el área de la circunferencia mayor que ya había calculado y que era de 144/π

$\'Area\ vereda=\dfrac{576}{\pi^2} -\dfrac{144}{\pi } =\dfrac{576-144\pi }{\pi ^2} =\boxed{12,52\ m^2}$

(respuesta a la segunda pregunta)

Respecto a la tercera pregunta, una relación entre dos cantidades es su cociente así que solo hemos de plantear el cociente entre el espacio destinado a las flores (área de las 5 circunferencias blancas) y el espacio cubierto por el césped (zona verde).

$Relaci\'on = \dfrac{80\pi }{64\pi } =\boxed{\dfrac{5}{4} }$

(respuesta a la tercera pregunta)