Question

AYUDAAAA):

Calcula el perímetro de la región triangular cuyos vértices son: (0;0), (0:3), (4;0)​

Answer 1

El perímetro del triángulo es de 12 unidades

Solución

Dados los vértices de un polígono en el plano cartesiano se pide calcular su perímetro

Vértices:

$\bold{A (0,0) }$

$\bold{B (0,3) }$

$\bold{C (4,0) }$

Dado que el polígono, que en este caso es un triángulo- se encuentra en el plano cartesiano, para poder hallar el perímetro debemos determinar el valor de sus lados

Para ello emplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$                  

a) Determinamos la longitud del lado AB

$\bold{A (0.0) \ \ \ B(0,3)}$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB} = \sqrt{(0-0 )^{2} +(3-0 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB}= \sqrt{0 ^{2} + \ 3^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AB} = \sqrt{0 + \ 9 } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AB} = \sqrt{9 } } }$

$\large\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB} = 3 \ unidades } }$

b) Determinamos la longitud del lado BC

$\bold{B (0,3) \ \ \ C(4,0)}$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC} = \sqrt{(4-0 )^{2} +(0-3 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC}= \sqrt{4 ^{2} + \ (-3)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {BC} = \sqrt{16 + \ 9 } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {BC} = \sqrt{25 } } }$

$\large\boxed{ \bold {Lado \ \overline {BC} =5 \ unidades } }$

c) Determinamos la longitud del lado AC

$\bold{A (0,0) \ \ \ C(4,0)}$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC} = \sqrt{(4-0 )^{2} +(0-0 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC}= \sqrt{4 ^{2} + \ 0^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{16 + \ 0 } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{16 } } }$

$\large\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} =4\ unidades } }$

Conocemos las magnitudes de todos los lados del polígono

El perímetro de una figura se halla a partir de la suma de todos sus lados

$\boxed{\bold { Perimetro \ Triangulo \ ABC =Lado \ \overline {AB} + Lado \ \overline {BC} +Lado \ \overline {AC} }}$

$\boxed{\bold { Perimetro \ Triangulo \ ABC = 3 \ u + 5\ u + 4 \ u }}$

$\large\boxed{\bold { Perimetro \ Triangulo \ ABC = 12\ unidades }}$

El perímetro del triángulo es de 12 unidades 

Se agrega gráfico del triángulo solicitado

En donde mediante el gráfico adjunto se puede observar que el triángulo requerido es rectángulo

Aunque el enunciado no lo pida se demostrará que se trata de un triángulo rectángulo

Empleamos el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Conocemos las magnitudes de todos los lados del triángulo

Las cuales hallamos para determinar el perímetro solicitado

Empleamos la notación habitual en triángulos rectángulos

Luego a los lados de menor magnitud los denotaremos como "a" y "b" y serán los catetos

Y como sabemos que en un triángulo rectángulo el lado de mayor valor es la hipotenusa a ese lado lo llamaremos "c"

Luego tendremos

$\large\textsf{a = Lado AB = Cateto 1= }\bold{3 \ unidades }$

$\large\textsf{b = Lado AC = Cateto 2 = }\bold{4 \ unidades }$

$\large\textsf{c = Lado BC = Hipotenusa = }\bold{5 \ unidades }$

Donde si se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, luego el triángulo será rectángulo.

Si esto no se cumple no lo será

Aplicamos el teorema de Pitágoras para determinar si el triángulo dado es rectángulo o no lo es

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed {\bold {(5) ^{2} = (3)^{2} \ + \ (4)^{2} }}$

$\boxed {\bold { 25 = 9 + 16 }}$

$\large\boxed {\bold { 25 \ u ^{2} = 25 \ u^{2} }}$

$\large\textsf{Se cumple la igualdad }$

Concluyendo que como el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos por lo tanto el triángulo dado es rectángulo