AYUDAAA ¿Qué relación existe entre la rapidez lineal y la rapidez angular de un cuerpo que realiza un movimiento circular?
Respuestas a la pregunta
La aceleración angular
ω=ω0+αtEn el instante t=4 s la velocidad angular ω=0α=-π rad/s2El ángulo girado hasta este instante esEn el instante t=1 s, la posición y la velocidad angular del móvil es
θ=7π/2=2π+3π/2 radω=4π+(-π)·1=3π rad/sLa velocidad linealv=ω·r v=0.3π m/sLa componente tangencial de la aceleración esat=α·r at=-0.1π m/s2La componente normal de la aceleración esan=v2/r an=0.9π2 m/s2Movimiento de una bicicleta
Una bicicleta de montaña dispone de tres platos y siete piñones de distinto radio lo que proporciona 21 cambios de marcha al ciclista.
Supondremos que el ciclista hace girar al plato con velocidad angular constante w1. ¿Cuál es la velocidad v que adquiere el ciclista sobre la bicicleta?.
Supondremos que conocemos los datos relativos a la bicicleta:
Radio del plato seleccionado, r1Radio del piñón seleccionado, r2Radio de la rueda trasera, raRadio de la rueda delantera, rbAunque en la mayor parte de las bicicletas los radios de ambas ruedas son iguales, en algunas como las de competición contra-reloj son diferentes como en la simulación más abajo.
La figura representa un plato y un piñón unidos por una cadena. No es necesario saber Cinemática para establecer una relación entre sus respectivas velocidades angulares, y concluir que las velocidades angulares son inversamente proporcionales a sus radios respectivos.
La velocidad de la cadena vc es la misma que la velocidad de un diente del plato
vc=w1·r1
La velocidad de la cadena vc es la misma que la velocidad de un diente del piñón
vc=w2·r2
Tenemos de este modo, la relación entre las velocidades angulares w1 y w2
w2·r2=w1·r1
En el tiempo t un eslabón de la cadena se mueve de A a B. Un diente del plato gira un ángulo q1 y uno del piñón gira un ángulo q2. Tendremos entonces la siguiente relación
q2·r2= q1·r1
Ahora nos fijaremos en la rueda trasera. Si suponemos que el piñón es fijo, la velocidad angular del piñón w2 es la misma que la velocidad angular de la rueda trasera.
De modo que, la velocidad va de un punto de la periferia de dicha rueda es
va= w2·ra
Esta es la velocidad v con que se mueve el ciclista sobre la bicicleta.
En el capítulo sólido rígido estudiaremos con más detalle la relación entre la velocidad de traslación y la velocidad de rotación de un sólido que rueda sin deslizar.
El ángulo girado por dicha rueda en el tiempo t será
q a== w2·t
El eje de la rueda delantera está unido al eje de la rueda trasera mediante la estructura rígida de tubos de la bicicleta. La velocidad de traslación de la rueda delantera es la misma que la de la rueda trasera. La velocidad angular de la rueda delantera será
v= w b·rb
El ángulo girado por dicha rueda en el tiempo t
q b= w b·t
Ejemplo:
Los datos siguientes están fijados en el programa interactivo
El radio de la rueda trasera, ra=30 cmEl radio de la rueda delantera, rb=20 cmVelocidad angular del plato, w1=1.0 rad/sLos radios del piñón y del plato se pueden cambiar
Radio del plato seleccionado, r1=7.0 cmRadio del piñón seleccionado, r2=3.5 cmVelocidades
Velocidad angular del piñón: 3.5·w2=1.0·7.0 w 2=2 rad/s
Esta es también la velocidad angular de la rueda trasera.
Velocidad del ciclista sobre la bicicleta: v=2·30=60 cm/s=0.6 m/s
Velocidad angular de la rueda delantera: 60= w b·20 w b=3 rad/s
Desplazamientos
En el tiempo de t=1.0 s
La bicicleta se desplaza: x=v·t=60·1.0=60 cm=0.6 m
El ángulo girado por el plato: q 1= w1·t=1.0·1.0=1.0 rad.
El ángulo girado por la rueda trasera: q a= w2·t=2.0·1.0=2.0 rad.
El ángulo girado por la rueda delantera: q b= w b·t=3·1.0=3 rad
Para trabajar con el programa interactivo
Seleccionar el radio del plato, en el control selección Radio platoSeleccionar el radio del piñón, en el control selección Radio piñónLos datos siguientes están fijados en el programa interactivo
El radio de la rueda trasera, ra=30 cmEl radio de la rueda delantera, rb=20 cmVelocidad angular del plato, w1=1.0 rad/sSe pulsa el botón titulado Empieza
Observamos el movimiento de las dos ruedas de la bicicleta, del plato y del piñón
En la parte superior del applet se nos proporciona los datos relativos a
El tiempoLa velocidad angular del plato, y el ángulo girado en dicho tiempoLa velocidad de la bicicletaEl desplazamiento de la bicicleta, que podemos ver en la escala graduada situada en la parte inferior del appletEl radio de la rueda delantera, y el ángulo girado por esta ruedaEl radio de la rueda trasera, y el ángulo girado por esta rueda