Question

Ayudaaa, es para en unas horas, esto depende de si apruebo el curso o no:(((
Para economizar malla metalica, julia gracia construye un corral rectangular utilizando uno de sus muros, ella empleó 18 M de malla metalica para cercar el corral. ¿cuántos metros cuadrados tiene el corral si julia logro el área máxima?

Answer 1

Respuesta:

20.25

Explicación paso a paso:

Digamos que la base del terreno rectangular es x y la altura del mismo es y, entonces se cumple lo siguiente:

Área = x×y

Perimetro = 2(x + y)

por dato:

Perimetro = 2x + 2y

18 = 2x + 2y

9 = x + y

y = 9 - x

Entonces el área sería:

Área = x×y

Área = x×(9 - x)

Área = 9x - x²

el área puede tomar muchos valores, pero si graficamos una función que defina al área como y respecto a x, podemos ver fácilmente cual es el máximo valor de y puesto que seria la ordenada del punto critico superior de la función (si es que tiene), te dejo la grafica de la función en la imagen pero como se supone que no tengo una graficadora, nesesito hallar el punto crítico superior de la función manualmente, por definición de derivada (pendiente de la recta tangente a la función en el punto en el que la evaluas), entonces cuando esa pendiente es 0, va a ser un punto crítico de esa función, lo que significa que si derivamos a la función, y lo igualamos a 0, las raíces de esa función te van a dar las abscisas de los puntos críticos de la función, entonces derivando la función:

f(x) = 9x - x²

f'(x) = 9 - 2x

igualando a 0:

9 - 2x = 0

x = 4.5

como la ecuación solo tiene una raíz, solo tiene un punto crítico, y para saber si la ordenada del punto critico es mayor o menor, hallamos la segunda derivada, si esta sale mayor que 0, significa que la absisa es mínima, si sale menor que 0, significa que la absisa es máxima, y si sale 0, se trata de un punto de inflexión, entonces hallando la segunda derivada:

f'(x) = 9 - 2x

f"(x) = -2

como el resultado salió negativo, significa que la absisa en ese punto critico es máximo, entonces el valor máximo de y en la función, es cuando x tiene un valor de 4.5

entonces en la función principal, hallamos el valor máximo de y, reemplazando en la función la absisa correspondiente:

f(x) = 9x - x²

f(4.5) = 9×(4.5) - (4.5)²

f(4.5) = 40.5 - 20.25

f(4.5) = 20.25

entonces el valor máximo de y en la función es 20.25, como y era el área, el valor máximo del área es 20.25 m² (también se puede comprobar en la gráfica