Question

¡AYUDAA POR FAVOR!
Calcula la suma de las 100 fracciones que se obtienen al formar todos los cocientes de los números de la siguiente lista: 1,3,9,27,81,243,729,2187,6561 y 19683​

Answer 1

Sumando las 100 fracciones, obtenidas al formar todos los cocientes con los números de la lista: 1,3,9,27,81,243,729,2187,6561 y 19683​, resulta en 44276.25062.

Esta suma se podría hacer escribiendo cada cociente, y luego sumar las 100 fracciones. Esto tomaría mucho trabajo, y conviene buscar una manera mas rápida.

Sabemos que, para sumar fracciones deben tener el mismo denominador, por lo tanto bien podríamos sumar por separado las 10 fracciones que tienen el mismo denominador, es decir

$\frac{1}{19683}+\frac{3}{19683}+\frac{9}{19683}+...+\frac{19683}{19683} = \frac{1+3+9+...+19683}{19683}$

Luego hacer lo mismo con otro denominador

$\frac{1}{6561}+\frac{3}{6561}+\frac{9}{6561}+...+\frac{19683}{6561}=\frac{1+3+9+...+19683}{6561}$.

Y continuar hasta tener las 10 suma de 10 fracciones que tienen mismo denominador.

Siendo la suma 1+3+9+...+19683=29524, tenemos entonces la suma de estas 10 fracciones

$\frac{29524}{1}+\frac{29524}{3}+\frac{29524}{9}+...\frac{29524}{6591}+\frac{29524}{19683}$

Para sumar estas 10 fracciones, tenemos que encontrar un denominador común. Curiosamente todos estos números son potencias de 3,

$3^{0}=1,3^{1}=3,3^{2}=9, 3^{3}=27,...,3^{8}=6561,3^{9}=19683$

Entonces es sencillo, solo multiplicamos y dividimos la fracción por una potencia de 3, y todas las fracciones pueden escribirse con denominador 19683:

$\frac{29524}{1}=\frac{3^{9}*29524}{3^9*1}=\frac{3^9*29524}{19683}$

$\frac{29521}{3}=\frac{3^8*29524}{3^8*3}=\frac{3^8*29524}{19683}$

...

$\frac{29524}{6561}=\frac{3*29524}{3*6564}=\frac{3*29524}{19683}$

$\frac{29524}{19683}$

Y ya con un mismo denominador, podemos sumar todas las fracciones

$\frac{3^9*29521}{19683}+\frac{3^8*29521}{19683}+...+\frac{3*29521}{19683}+\frac{29521}{19683}$

$\frac{3^9*2952+3^8*29521+...+3*29521+29521}{19683}$

Ahora veamos solamente el numerador. Todos los términos están multiplicando por 29524, entonces se puede sacar como factor común.

$3^9*2954+3^8*29524+...+3*29524+29524=(3^9+3^8+...+3^1+1)(29524)$

Como ya vimos antes, $3^{0}=1,3^{1}=3,3^{2}=9, 3^{3}=27,...,3^{8}=6561,3^{9}=19683$, entonces la suma de estos términos es 29524. Por lo que el numerador queda

$(3^9+3^8+...+3^1+1)(29524)=(29524)(29524)$

Finalmente tenemos

$\frac{29524*29524}{19683}=\frac{871666576}{19683}=44285.25001.$