Question

Ayudaa!! Con derivadas

Answer 1

(1) $y=\arcsin \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$

                        $y'=\dfrac{\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)'}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^2}}\\ \\ \\ y'=\dfrac{\left(1+\dfrac{2}{x-1}\right)'}{\sqrt{1-\left(1+\dfrac{2}{x-1}\right)^2}}\\ \\ \\ y'=\dfrac{-\dfrac{2}{(x-1)^2}}{\sqrt{-\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{4}{(x-1)^2}}}\\ \\ \\ y'=-\dfrac{1}{|x-1|\sqrt{-x}}\,,\, \texttt{con }x\ \textless \ 0\\ \\ \\ y'=\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{-x}}\,,\, \texttt{con }x\ \textless \ 0$

Recuerda que $\arcsin: [-1,1]\to [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

(2)
$y=\cos^2(2x-\pi)=\cos^2(2x)=\dfrac{1+\cos 4x}{2}\\ \\ \\ y'=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos 4x}{2}\right)'\\ \\ \\ y'=\left(\dfrac{\cos 4x}{2}\right)'\\ \\ \\ y'=\dfrac{1}{2}(\cos 4x)'\\ \\ \\ y'=\dfrac{1}{2}(-4\sin 4x)\\ \\ \\ y'=-2\sin 4x$

(3)
$y=\sin x\cos x=\dfrac{\sin 2x}{2}\\ \\ \\ y'=\dfrac{1}{2}(\sin 2x)' \\ \\ \\ y'=\dfrac{1}{2}(2\cos 2x)\\ \\ \\ y'=\cos 2x$