Question

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DADA LA FUNCIÓN CUADRÁTICA:
f:R→R, fx=ax^2+bx+c ; a, b, c ∈R, a≠0, b^2-4ac>0, UNA CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE EL PRODUCTO DE SUS RAÍCES SEA IGUAL A LA SUMA DE LAS MISMAS ES QUE:

a) a = b
b) b = -c
c) a = c
d) c = -a

Answer 1

La condición  necesaria para que el producto de las raíces de una función cuadrática, sea igual a la suma de las mismas;

b) b = - c

Una función cuadrática, es un polinomio de grado dos.  

fx=ax^2+bx+c

Para que el producto de sus raíces sea igual a suma de las mismas raíces;

Las raíces vienen dadas por la siguiente  expresión;

$x_{1}  = \frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

$x_{2}  = \frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

Suma de raíces;

$x_{1} + x_{2}$

$x_{1}+ x_{2} = (\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a})+(\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a})$

$x_{1}+ x_{2} = \frac{-b }{2a}+\frac{-b }{2a}$

$x_{1}+ x_{2} = \frac{-2b }{2a}$

$x_{1}+ x_{2} =\frac{-b }{a}$

El producto de raíces;

$x_{1} . x_{2}$

$x_{1}. x_{2} = (\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}).(\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a})$

$x_{1}. x_{2} =\frac{(-b +\sqrt{b^{2}-4ac } )(-b -\sqrt{b^{2}-4ac })}{4a^{2} }$

= (-b+√(b²-4ac) ).(-b+√(b²-4ac) )

= (-b)(-b) + (-b)(-√(b²-4ac) ) + (√(b²-4ac) ) (-b) + √(b²-4ac) (-√(b²-4ac) )

= b² +b√(b²-4ac)-b√(b²-4ac)-√(b²-4ac) √(b²-4ac)

Aplicamos propiedades de raíz; √a . √a = a

=  b² -  b²-4ac

= -4ac

$x_{1}. x_{2} =\frac{-4ac}{4a^{2}}$

$x_{1}. x_{2} =\frac{c}{a}}$

Entonces teniendo la suma y el producto de las raíces lo igualamos;

$x_{1} + x_{2} = x_{1} . x_{2}$

$\frac{-b }{a} =\frac{c}{a}$

-b = c  ó   b = -c