Question

Ayuda Urgente - Un caminante inicia su trayecto en el origen de las coordenadas y avanza en línea recta hasta el punto r ⃗=(7,00 i ̂+ 6,00j ̂ ) m, luego en la misma dirección camina el triple de la distancia inicial. Finalmente cambia de dirección para moverse hasta el punto (9,00, -15,0) m.
Determina la distancia en línea recta desde el punto inicial hasta el punto final y el ángulo formado con la horizontal.
Determine la distancia total caminada.
Represente en el plano cartesiano la situación planteada. NOTA: para ello puede utilizar Geogebra o similar; en cualquier caso, debe utilizar un programa graficador.

Answer 1

La distancia total desde el punto inicial al punto final es de 17.49, con un ángulo de inclinación de 300.9°. La distancia total recorrida es de 80.2m.

Con las coordenadas del punto final y las del punto inicial, podemos obtener el vector entre esos dos puntos. Para eso, restamos el punto final del punto inicial, y ya que parte desde el punto (0,0) para terminar en el punto (9,-15), el vector es:

$(9-0)\hat{i} + (-15-0)\hat{j} = 9\hat{i} -15\hat{j}$

Para calcular la distancia entre el punto final y el incial, debemos calcular el módulo del vector. Para eso, tomamos sus componentes, los elevamos al cuadrado, esos cuadrados los sumamos, y al resultado de esta suma le calculamos la raíz. Para nuestro caso, esto es:

$\text{Distancia} = \sqrt{(9)^2 + (-15)^2}$m

$\text{Distancia} = \sqrt{(9)^2 + (-15)^2}$m

$\text{Distancia} = 17,49$m

Para calcular el ángulo, dividimos la segunda coordenada del vector entre la primera, y a ese resultado le calculamos la arcotangente, y le sumamos 360 grados si la primera coordenada es positiva y la segunda coordenada es negativa.

Recordemos la fórmula, para un vector $x\hat{i} + y\hat{j}$:

$\text{Angulo} = \arctan{\frac{x}{y}} + 360$ (si $x$ es positivo y $y$ es negativo)

En nuestro caso:

$\alpha = \arctan{\frac{-15}{9}} + 360$

$\alpha = -59.1$° + $360$°

$\alpha = 300.9$°

Ahora debemos calcular todos los vectores que representan los recorridos, calcular cada uno de sus módulos para obtener las distancias que representan, y sumar esas distancias para obtener la distancia total. Ya tenemos el primer vector, llamémoslo $\vec{v_1}$ y tiene un valor de $\vec{v_1} = 7\hat{i} + 6\hat{j}$. El segundo vector es el triple del primero, esto quiere decir que debemos multiplicar el vector $\vec{v_1}$ por $3$, y por la regla de multiplicación de vectores por números, debemos multiplicar cada componente por de $\vec{v_1}$ por $3$:

$\vec{v_2} = 3(v_1) = 3(7\hat{i} + 6\hat{j})$

$\vec{v_2} = 3*7\hat{i} + 3*6\hat{j}$

$\vec{v_2} = 21\hat{i} + 18\hat{j}$

Para calcular el tercer vector, podemos aprovecharnos de que sabemos su punto final. Necesitaríamos el punto inicial y los restaríamos, como hicimos al principio. ¿Cuál es el punto inicial del tercer recorrido? El punto final del segundo recorrido.

Para obtener el final del segundo recorrido, sumemos vectorialmente los recorridos anteriores:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = (7\hat{i} + 6\hat{j}) + (21\hat{i} + 18\hat{j})$

Agrupamos por componentes y sumamos:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = (7+21)\hat{i} + (6+18)\hat{j}$

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = (28)\hat{i} + (24)\hat{j}$

Por las componentes, podemos saber que el punto final del segundo recorrido es $(28,24)$. Como este es el punto inicial del tercer recorrido, lo restamos de su punto final $(9,-15)$ para encontrar el vector que une los puntos, vamos a llamarlo $v_3$:

$\vec{v_3} = (9 - 28)\hat{i} + (-15 - 24)\hat{j}$

$\vec{v_3} = (-19)\hat{i} + (-39)\hat{j}$

Ahora calculamos los módulos de los vectores. El primero:

$\text{Modulo de }\vec{v_1} & = \sqrt{(7)^2 + (6)^2}$

$\sqrt{49 + 36} = \sqrt{85} = 9.2m$

El segundo:

$\text{Modulo de }\vec{v_2} & = \sqrt{(21)^2 + (18)^2}$

$\sqrt{441 + 324} = \sqrt{765} = 27.6m$

Y el tercero:

$\text{Modulo de }\vec{v_3} & = \sqrt{(-19)^2 + (-39)^2}$

$\sqrt{361 + 1521} = \sqrt{1882} = 43.4m$

Sumamos todos los recorridos para obtener el recorrido total:

$9.2\text{m}+27.6\text{m}+43.4\text{m} = 80.2\text{m}$

Preguntar similar:

https://brainly.lat/tarea/5228504