AYUDA URGENTE CON EJERCICIO DE CALCULO
Considere la función definida por:
f(x) = {x−2/x^2−4 ≠ 2
4 = 2
Analice la continuidad de f en el punto x = 2. Si es discontinua, clasifique la
discontinuidad, y si es reparable, indique como se repara.
Respuestas a la pregunta
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Para que una función sea continua en un punto (x = 2), debe cumplir 3 condiciones:
a) existe f(a)
En este caso, f(2) = 4 ; por lo tanto existe
b) existe el lim f(x)
x→2
lim f(x) = lim (x-2)/(x^2 -4)
x→2 x→2
lim f(x) = lim (x - 2) / (x - 2) (x + 2)
x→2 x→2
lim f(x) = lim 1 / (x + 2)
x→2 x→2
lim f(x) = 1 / (2 + 2)
x→2
lim f(x) = 1/4 ; Sí existe el límite
x→2
c) lim f(x) = f(a)
x→a
lim f(x) = f(2)
x→2
1/4 ≠ 4
La función es discontinua porque no se cumple la 3era condición.
La discontinuidad es evitable porque los límites laterales existen:
Lim f(x) = Lim f(x) = L = 1/4
x→a- x→a+
Y para que se discontinuidad evitable:
f(a) = L
4 ≠ 1/4
Por lo que es reparable la función f(x) para que sea evitable haciendo un salto finito en x = 2.
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a) existe f(a)
En este caso, f(2) = 4 ; por lo tanto existe
b) existe el lim f(x)
x→2
lim f(x) = lim (x-2)/(x^2 -4)
x→2 x→2
lim f(x) = lim (x - 2) / (x - 2) (x + 2)
x→2 x→2
lim f(x) = lim 1 / (x + 2)
x→2 x→2
lim f(x) = 1 / (2 + 2)
x→2
lim f(x) = 1/4 ; Sí existe el límite
x→2
c) lim f(x) = f(a)
x→a
lim f(x) = f(2)
x→2
1/4 ≠ 4
La función es discontinua porque no se cumple la 3era condición.
La discontinuidad es evitable porque los límites laterales existen:
Lim f(x) = Lim f(x) = L = 1/4
x→a- x→a+
Y para que se discontinuidad evitable:
f(a) = L
4 ≠ 1/4
Por lo que es reparable la función f(x) para que sea evitable haciendo un salto finito en x = 2.
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