Ayuda : sume las coordenadas del baricentro del triangulo cuyos vertices son A (-1;1) ; B (3;10) y C (7;-2)) es
Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
El baricentro de un triángulo (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triángulo.
Las medianas (ma, mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus vértices con el centro del lado opuesto.
Se cumple la siguiente propiedad: la distancia entre el baricentro (centroide) y su vértice correspondiente es el doble de la distancia entre el baricentro y el lado opuesto. Es decir, la distancia del centroide a cada vértice es de 2/3 la longitud de cada mediana.
En física, el baricentro de un triángulo (G) sería el centro de gravedad de éste.
El centroide está siempre en el interior del triángulo.
Cálculo de las coordenadas del baricentro de un triángulo
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Si conocemos las coordenadas de los tres vértices del triángulo, las coordenadas del centroide o baricentro serán la media aritmética de dichas coordenadas.
Hallemos la media aritmética de dichas coordenadas y tendremos situado el baricentro de un triángulo en un sistema de coordenadas:

Ejercicio

En el triángulo de la figura, con coordenadas conocidas de los tres vértices, hallar las coordenadas del baricentro mediante la media aritmética de las coordenadas de los vértices o por la intersección de las medianas, conociendo las ecuaciones de las rectas a las que pertenecen.
Solución:
Las coordenadas de los vértices vemos que son: A (-4, 0), B (2, -3), C (4, 2).
Calculamos las coordenadas del baricentro del triángulo obteniendo la media aritmética de las tres coordenadas en abscisas y ordenadas:

Ahora volveremos a hallar las coordenadas del baricentro, pero mediante la intersección de dos de sus medianas, conociendo las ecuaciones de las rectas a las que pertenecen.
Elegimos las medianas ma y mc. Para hallar las ecuaciones de sus rectas tenemos las coordenadas de los vértices A y C. Necesitaremos saber las coordenadas de los puntos medios de los lados opuestos a cada vértice, a los que llamaremos a’ y c’.

Con dos puntos, podemos obtener las ecuaciones de las dos rectas.
Del vértice A al punto medio a’, la ecuación de su recta es:

La ecuación de la primera mediana es:

Del vértice C al punto medio c’, la ecuación de su recta es:

La ecuación de la segunda mediana es:

Resolvemos este sistema de dos ecuaciones lineales o de primer grado con dos incógnitas. Sus dos raíces serán las coordenadas del punto donde se cortan las dos rectas, es decir, las coordenadas buscadas del centroide de este triángulo.

En primer lugar multiplicamos los dos términos de la primera ecuación por 2 para que la x tenga un coeficiente entero (el 1) y despejamos la incógnita x para resolver el sistema de ecuaciones por el método de sustitución:

Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación para hallar la y:

Ahora, este valor de y lo trasladamos a la expresión anterior de la x:

Con lo que hemos obtenido el mismo resultado para las coordenadas del baricentro (o centroide) de este triángulo que mediante el primer procedimiento:

Recta de Euler
En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.
Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a  desde un lado y, por tanto,  al vértice, siendo h su